Obtención de los vectores de la base con respecto de la cual una cierta matriz es diagonal, dada la matriz de paso (del cambio de base)

Se considera una matriz $A$, asociada al correspondiente endomorfismo de $\mathbb{R}^3$, cuyos coeficientes vienen dados con respecto a la base canónica $\mathcal{C}=\{e_1=(1,0,0)^\top,e_2=(0,1,0)^\top,e_3=(0,0,1)^\top\}$. Nos dicen que esta matriz resulta que diagonaliza, $D=P^{-1}\,A\,P$ (denotamos por $D$ a dicha matriz diagonal) y por tanto $A=P\,D\,P^{-1}$, mediante la siguiente matriz de cambio de base (o matriz de paso):

$$P=\begin{pmatrix}1&2&1\\1&3&3\\1&3&4\end{pmatrix}$$ ¿Cuál es la base con respecto a la cual diagonaliza?

Los vectores de la nueva base $\mathcal{B}$ corresponden a los vectores columna de la matriz de paso (del cambio de base):

$$\mathcal{B}=\{u_1=(1,1,1)^{\top},u_2=(2,3,3)^{\top},u_3=(1,3,4)^{\top}\}$$ $\diamond$