Módulo del cociente entre un número complejo no nulo y su conjugado

Sea $a-i\,b;\, a,b \in \mathbb{R}$ un número complejo no nulo. En estas condiciones, queremos demostrar que $\left| \dfrac{a+i\,b}{a-i\,b}\right|=\left| \dfrac{a-i\,b}{a+i\,b}\right|=1$

El complejo conjugado de $a-i\,b$ es $a+i\,b$ (y recíprocamente), luego $\left|a-i\,b \right|=\left|a+i\,b \right| \quad (1)$; por otra parte, sabemos que el módulo del cociente de dos números complejos es igual al cociente de los módulos de los mismos: $\left| \dfrac{a+i\,b}{a-i\,b}\right|=\dfrac{\left|a+i\,b \right|}{\left|a-i\,b \right|}\overset{(1)}{=}1$. Y, de manera similar, $\left| \dfrac{a-i\,b}{a+i\,b}\right|=\dfrac{\left|a-i\,b \right|}{\left|a+i\,b \right|}\overset{(1)}{=}1$   $\diamond$