Acerca del teorema del coseno: una demostración mediante el producto escalar euclídeo

Sea el triángulo $\triangle(ABC)$, donde $A,B$ y $C$ son puntos en el espacio afín euclídeo. En este artículo, y a modo de ejercicio, vamos a demostrar el teorema del coseno $$\overline{AC}=\sqrt{\overline{AB}^2+\overline{BC}^2-2\,\overline{AB}\cdot \overline{BC}\cdot\cos(\measuredangle{ABC}})$$

Consideremos los vectores $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$ y $\overrightarrow{AC}$, cuyos módulos, $\left\|\overrightarrow{AB}\right\|$, $\left\|\overrightarrow{BC}\right\|$ y $\left\|\overrightarrow{AC}\right\|$, corresponden (respectivamente) a las longitudes de los lados del triángulo $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ y $\overline{AC}$.

Evidentemente, los tres vectores están relacionados mediante la suma vectorial: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$. Partamos del producto escalar euclídeo: $\langle \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AC}\rangle$, que, como ya sabemos, es igual al cuadrado del módulo de ese vector, $\left\| \overrightarrow{AC} \right\|^2$.

Por otra parte, $\langle \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AC}\rangle= \langle \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC},\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\rangle$. Desarrollemos el segundo miembro:
  $\langle \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC},\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\rangle=$
    $=\langle \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC},\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\rangle$
      $=\langle \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AB}\rangle + \langle\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BC}\rangle + 2\,\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\rangle$
        $=\left\| \overrightarrow{AB}\right\|^2+\left\| \overrightarrow{BC}\right\|^2+ 2\,\left\|\overrightarrow{AB}\right\|\cdot \left\|\overrightarrow{BC}\right\|\cdot \cos(\measuredangle{(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})})\quad (1)$
Ahora bien, tengamos en cuenta que $\measuredangle{(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})}=\pi-\measuredangle{ABC}$, por tanto $\cos(\measuredangle{(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})})=-\cos(\measuredangle{ABC})$.
Por lo tanto, podemos escribir $(1)$ de la forma:
$$\overline{AC}^2=\overline{AB}^2+\overline{BC}^2-2\,\overline{AB}\cdot \overline{BC}\cdot\cos(\measuredangle{ABC})$$ y en consecuencia:
$$\overline{AC}=\sqrt{\overline{AB}^2+\overline{BC}^2-2\,\overline{AB}\cdot \overline{BC}\cdot\cos(\measuredangle{ABC}})$$ $\diamond$