$\cos(\alpha)=\dfrac{e^{i\,\alpha}+e^{-i\,\alpha}}{2}$ y $\sin(\alpha)=\dfrac{e^{i\,\alpha}-e^{-i\,\alpha}}{2\,i}$

Vamos a justificar las siguientes fórmulas:

$$\cos(\alpha)=\dfrac{e^{i\,\alpha}+e^{-i\,\alpha}}{2}$$ y $$\sin(\alpha)=\dfrac{e^{i\,\alpha}-e^{-i\,\alpha}}{2\,i}$$

Conocemos la fórmula de Euler: todo número complejo $z=a+i\,b$ puede escribirse de la forma $z=|z|\cdot e^{i\,\alpha}=|z|\cdot (\cos(\alpha)+i\,\sin(\alpha))$, donde $|z|$ es el módulo de $z$ y $\alpha$ representa el argumento de $z$

El número complejo conjugado de $z$ es $\bar{z}=a-i\,b=|z|\cdot e^{-i\,\alpha}$, ya que $|\bar{z}|=|z|$ y $\text{Arg}(\bar{z})=-\text{Arg}(z)=-\alpha$

Hagamos la suma $z+\bar{z}$:
  $z+\bar{z}=\left\{\begin{matrix}|z|\cdot (\cos(\alpha)+i\,\sin(\alpha)) + |z|\cdot (\cos(\alpha)+\,\sin(\alpha)) = 2\,|z|\,\cos(\alpha) \\ |z|\cdot e^{i\,\alpha} + |z|\cdot e^{-i\,\alpha}\end{matrix}\right.\Rightarrow$
    $\Rightarrow 2\,|z|\,\cos(\alpha) = |z|\, (e^{i\,\alpha} + e^{-i\,\alpha}) \Rightarrow \cos(\alpha)=\dfrac{e^{i\,\alpha}+e^{-i\,\alpha}}{2}$

Hagamos ahora la diferencia $z-\bar{z}$:
  $z-\bar{z}=\left\{\begin{matrix}|z|\cdot (\cos(\alpha)+i\,\sin(\alpha)) - |z|\cdot (\cos(\alpha)-\,\sin(\alpha)) = 2\,|z|\,i\,\sin(\alpha) \\ |z|\cdot e^{i\,\alpha} - |z|\cdot e^{-i\,\alpha}\end{matrix}\right.\Rightarrow$
    $\Rightarrow 2\,|z|\,i\sin(\alpha) = |z|\, (e^{i\,\alpha} - e^{-i\,\alpha}) \Rightarrow \sin(\alpha)=\dfrac{e^{i\,\alpha}-e^{-i\,\alpha}}{2\,i}$
$\diamond$