Escritura de la matriz de una aplicación lineal dada. Un ejemplo

Queremos encontrar las matrices asociadas a la siguiente aplicación lineal:
$$f:\mathbb{C}^3\rightarrow \mathbb{C}^2; (z_1,z_2,z_3)\mapsto (z_1+i\,z_2+0\cdot z_3\,,\,0\cdot z_1+z_2-i\,z_3)$$

Recordemos que dada una aplicación lineal $\phi$ del espacio vectorial $E_m$ (de dimensión $m$) en el espacio vectorial $E_n$ (de dimensión $n$), ésta tiene asociada una matriz $A_{n \times m}$, tal que $A_{n\times m}\,u_{m \times 1}=v_{ n \times 1}$, donde $u_{m}$ y $v_n$ son vectores del $E_{m}$ (espacio de partida) y de $E_n$ (espacio de llegada), respectivamente.

En nuestro caso, la aplicación en cuestión es $f$. Y sabemos que $\mathbb{C}^3$, que es un espacio vectorial —aunque el cuerpo de los números complejos no sea un cuerpo ordenado—, es el de partida, con $m=3$; y $\mathbb{C}^2$ es el espacio vectorial de llegada, con $n=2$. Entonces, la matriz asociada a $f$ es $$A_{2 \times 3}=\begin{pmatrix}1 & i & 0\\ 0 & 1 & -i \end{pmatrix}$$

Comprobación:
En efecto, por la multiplicación de matrices:
$$\begin{pmatrix}1 & i & 0\\ 0 & 1 & -i \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix}z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} z_1+i\,z_2+0\cdot z_3 \\ z_1+z_2-i\,z_3 \end{pmatrix}$$ $\diamond$