Cálculo de integrales indefinidas con una fracción algebraica como integrando

Nos proponemos resolver la siguiente integral indefinida:

$$\int \dfrac{5x+3}{(x-3)(x+4)}\,dx$$

Podemos escribir el integrando como una suma de fracciones con denominadores respectivos igual a los factores del denominador de la expresión original y numeradores $A$ y $B$ (polinomios de grado cero), respectivamente, el valor de los cuales vamos a determinar:

$$\dfrac{5x+3}{(x-3)(x+4)}=\dfrac{A}{x-3}+\dfrac{B}{x+4}\,\quad (1)$$ de esta manera, $$\int\,\dfrac{5x+3}{(x-3)(x+4)}\,dx=\int\,\dfrac{A}{x-3}\,dx+\int\,\dfrac{B}{x+4}\,dx$$ y como los segundos miembros son integrales inmediatas, $$\int\,\dfrac{5x+3}{(x-3)(x+4)}\,dx=A\,\ln(|x-3|)+B\,\ln(|x+4|)+C \,\quad(2)\,\text{siendo}\,C\,\text{la constante de integración}$$ Para calcular el valor de los coeficientes $A$ y $B$, de $(1)$ se tiene que $$5x+3=A\,(x+4)+B\,(x-3)$$ esto es $$5x+3=(A+B)\,x+(4\,A - 3\,B) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}A+B=5 \\ 4\,-3\,B=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}A=\dfrac{18}{7} \\ B=\dfrac{17}{7}\end{matrix}\right.$$ Y sustituyendo en $(2)$, $$\int\,\dfrac{5x+3}{(x-3)(x+4)}\,dx=\dfrac{18}{7}\,\ln(|x-3|)+\dfrac{17}{7}\,\ln(|x+4|)+C$$ $\diamond$