Una transformación de coordenadas que cambia una recta por una parábola

Consideremos la siguiente transformación de coordenadas: $$(x,y) \overset{T}{\longrightarrow} (\tilde{x},\tilde{y}): \left\{\begin{matrix} \tilde{x}=x^2-xy \\ \tilde{y}=xy\end{matrix}\right.$$ Nos preguntamos cómo se transforma la recta de ecuación $y=x-1$

Una manera sencilla de hacerlo consiste en comenzar escribiendo la ecuación de la recta en forma paramétrica: $$\dfrac{y-0}{1}=\dfrac{x-1}{1}=t \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=t+1 \\ y=t\end{matrix}\right.$$ con lo cual, las ecuaciones de la transformación se escribirán de la forma: $$\left\{\begin{matrix}\tilde{x}=(t+1)^2-t\,(t+1)\\ \tilde{y}=t\,(t+1)\end{matrix}\right.$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}\tilde{x}=t+1 & (1)\\ \tilde{y}=t^2+t & (2)\end{matrix}\right.$$ Despejando el parámetro $t$ de (1), $t=\tilde{x}-1$, y sustituyendo su expresión en (2), obtenemos $$\tilde{y}=(\tilde{x}-1)^2+(\tilde{x}-1)$$ y, simplificando el segundo miembro, llegamos a: $$\tilde{y}=\tilde{x}^2-\tilde{x}$$ Obsérvese que la recta descrita en el sistema de $(x,y)$ corresponde, según la transformación, a una parábola en el sistema $(\tilde{x},\tilde{y})$
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