Cálculo de la integral de la función techo de $x$ entre $0$ y un número entero no negativo $m$

Me propongo resolver la siguiente integral indefinida: $$I=\displaystyle \int_{0}^{m}\,\left \lceil x \right \rceil \,dx \quad (\mathbb{Z} \ni m \ge 0)$$

Puesto que si $\mathbb{Z} \ni k=\left \lceil x \right \rceil$, por la definición de dicha función discreta, se tiene que $k-1 \lt x \le k$ $\therefore$ $I=\displaystyle \sum_{k=0}^{m}\,\int_{k-1}^{k}\,k\,dx=\displaystyle \sum_{k=0}^{m}\,k\,\int_{k-1}^{k}\,dx=\displaystyle \sum_{k=0}^{2}\,k\;x|_{k-1}^{k}=\displaystyle \sum_{k=0}^{2}\,k\cdot \left(k-(k-1)\right)=$
  $=\displaystyle \sum_{k=0}^{m}\,k\cdot 1 = \displaystyle \sum_{k=0}^{m}\,k = \dfrac{0+(m+1)-1)\cdot 1}{2}\cdot (m+1)=\dfrac{m\,(m+1)}{2}$, resultado que, tanto si $m$ es par como si es impar, es un número entero positivo, como debe ser, pues la interpretación geométrica del resultado de esta integral, dada la naturaleza de la función del integrando (función techo), es la suma del las áreas de un conjunto de rectángulos adyacentes con bases de longitud la unidad y cuyas alturas respectiva son números naturales consecutivos. $\diamond$