Integrales indefinidas en las que aparecen senos y cosenos

Voy a resolver la siguiente integral indefinida:

$$\displaystyle \int\,\dfrac{dx}{\sin(x)+\cos(x)}$$

Denotemos por $I$ a la integral indefinida propuesta. Este tipo de integrales en las que aparecen senos y cosenos suelen resolverse mediante el cambio de variable $\tan(x/2)=u$, entonces $x/2=\text{arctan}(u) \Leftrightarrow x = 2\,\text{arctan}(u) \therefore dx = (2\,\text{arctan}(u))'\,du =\dfrac{2}{1+u^2}\,du \quad (1)$

Por otra parte, $\cos(x)=\cos^2\,(x/2)-\sin^2\,(x/2)=\cos^2\,(x/2)-(1-\cos^2\,(x/2))= 2\,\cos^2\,(x/2)-1$, luego $\cos^2\,(x/2)=\dfrac{\cos\,(x)+1}{2}$ y por tanto $\cos(x/2)=\pm\,\sqrt{\dfrac{\cos\,(x)+1}{2}} \quad (2)$; de ahí, por la identidad fundamental de la trigonometría, deducimos que $\sin^2\,(x/2)=1-\cos^2\,(x/2)=1-\dfrac{\cos\,(x)+1}{2}=\dfrac{-\cos\,(x)+1}{2}$, por lo que $\sin\,(x/2)=\pm\,\sqrt{\dfrac{-\cos\,(x)+1}{2}} \quad (3)$. Dividiendo miembro a miembro (3) entre (2), $\tan\,(x/2)=\sqrt{\dfrac{1-\cos\,(x)}{1+\cos\,(x)}}$; es decir, $u=\sqrt{\dfrac{1-\cos\,(x)}{1+\cos\,(x)}}$, luego $u^2=\dfrac{1-\cos\,(x)}{1+\cos\,(x)}$, esto es $u^2+u^2\,\cos(x)=1-\cos\,(x)$, de donde $\cos\,(x)\,(u^2+1)=1-u^2$, y por tanto, $\cos\,(x)=\dfrac{1-u^2}{1+u^2} \quad (4)$, así que, (otra vez) por la identidad fundamental de la trigonometría, $\sin^2\,(x)=1-\cos^2\,(x)=1-\dfrac{(1-u^2)^2}{(1+u^2)^2}=\dfrac{4\,u^2}{(1+u^2)^2}$, con lo cual, $\sin\,(x)=\dfrac{2\,u}{1+u^2} \quad (5)$

Así, teniendo en cuenta (1), (4) y (5), vemos que $I=\displaystyle \int\,\dfrac{\frac{2\,du}{1+u^2}}{\frac{2\,u}{1+u^2}+\frac{1-u^2}{1+u^2}}=\int\,\dfrac{2\,du}{-u^2+2\,u+1}=$
  $\displaystyle=2\,\int\,\dfrac{du}{-u^2+2\,u+1}=-2\,\int\,\dfrac{du}{u^2-2\,u-1} =-2\,\int\,\dfrac{du}{(u-(1+\sqrt{2}))(u-(1-\sqrt{2}))}$. Denominemos $J$ a esta integral, entonces $I=-2J$. Para resolver $J$, descompongamos la fracción del integrando de la forma $\dfrac{1}{(u-(1+\sqrt{2}))(u-(1-\sqrt{2}))}=\dfrac{A}{(u-(1+\sqrt{2}))}+\dfrac{B}{(u-(1-\sqrt{2}))}$ para lo cual $\left\{\begin{matrix}A+B=0 \\ (1-\sqrt{2})\,A+ (1+\sqrt{2})\,B=1\end{matrix}\right.$, sistema de ecuaciones lineales compatible determinado cuya solución es $A=-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$, $B=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$. Entoces $\displaystyle J=\int\,\dfrac{-\frac{1}{2\sqrt{2}}}{u-(1+\sqrt{2})}\,du+\int\,\dfrac{\frac{1}{2\sqrt{2}}}{u-(1-\sqrt{2})}\,du=$
  $\displaystyle=-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\,\ln(|u-(1+\sqrt{2})|)+\frac{1}{2\sqrt{2}}\,\ln(|u-(1-\sqrt{2})|)+C_1$; por lo tanto la solución de $I$ es $\displaystyle=I=\dfrac{2}{2\sqrt{2}}\,\ln(|u-(1+\sqrt{2})|)-\frac{2}{2\sqrt{2}}\,\ln(|u-(1-\sqrt{2})|)+C_1=$   $\displaystyle=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,\ln(|u-(1+\sqrt{2})|)-\frac{\sqrt{2}}{2}\,\ln(|u-(1-\sqrt{2})|)+C$, y deshaciendo el cambio de variable obtenemos finalmente:

$$I\displaystyle=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,\ln(|\tan(x/2)-(1+\sqrt{2})|)-\frac{\sqrt{2}}{2}\,\ln(|\tan(x/2)-(1-\sqrt{2})|)+C$$ $\diamond$