Una integral cuyo integrando es la función irracional $f(x)=\sqrt{x^2+bx+c}$

Voy a resolver la siguiente integral indefinida: $$I=\displaystyle \int\,\sqrt{x^2+bx+c}\;dx$$

Observemos que podemos reexpresar el integrando de la forma:
$\sqrt{x^2+bx+c}=\sqrt{(x+b/2)^2-b^2/4+c}=\sqrt{(x+b/2)^2-(b^2/4-c)}=$   $=\sqrt{b^2/4-c}\,\sqrt{\dfrac{(x+b/2)^2}{b^2/4-c}-1}=\sqrt{b^2/4-c}\,\sqrt{\dfrac{(x+b/2)^2}{(\sqrt{b^2/4-c})^2}-1}=\sqrt{b^2/4-c}\cdot \sqrt{\left(\dfrac{x+b/2}{\sqrt{b^2/4-c}} \right)^2-1} $

Mediante el cambio de variable $\sin(\theta)=\dfrac{x+b/2}{\sqrt{b^2/4-c}}$, se tiene que $\cos(\theta)\,d\theta=\dfrac{1}{\sqrt{b^2/4-c}}\,dx$, y por tanto, $dx=\sqrt{b^2/4-c}\cdot \cos(\theta)\,d\theta$, la integral propuesta es $$I=\displaystyle \int\,(\sqrt{b^2/4-c}) \cdot \sqrt{\sin^2\,(\theta)-1} \cdot (\sqrt{b^2/4-c})\cdot \cos(\theta))\,d\theta=\sqrt{b^2/4-c}\,\int\,\sqrt{\sin^2\,(\theta)-1}\cdot \cos(\theta))\,d\theta=$$ $$=\sqrt{b^2/4-c}\,\int\,\sqrt{1-\cos^2\,(\theta)-1}\cdot \cos(\theta))\,d\theta=\sqrt{b^2/4-c}\,\int\,\sqrt{\cos^2\,(\theta)}\cdot \cos(\theta))\,d\theta=$$ $$=\sqrt{b^2/4-c}\,\int\,\cos\,(\theta)\cdot \cos(\theta))\,d\theta=\sqrt{b^2/4-c}\,\int\,\cos^2\,(\theta)\,d\theta$$ Denotemos ahora $J=\int\,\cos^2\,(\theta)\,d\theta$, integral que podemos resolver mediante el método de integración de por partes: $$\displaystyle J=\int\,\cos(\theta)\,(\cos(\theta)\,d\theta)$$ Sea $u=\cos\,(\theta)$ y $dv=\cos(\theta)\,d\theta)$; entonces $du=-\sin(\theta)\,d\theta$ y $v=\sin(\theta)$, con lo cual $$\displaystyle J=\sin(\theta)\cdot \cos(\theta)-\int\,\sin(\theta)\cdot (-\sin(\theta)\,d\theta)$$ es decir
  $\displaystyle \int\,\cos^2(\theta)\,d\theta=\sin(\theta)\cdot \cos(\theta)+\int\,\sin^2(\theta)\,d\theta$
    $\displaystyle \int\,\cos^2(\theta)\,d\theta =\sin(\theta)\cdot \cos(\theta)+\int\,(1-\cos^2(\theta)\,d\theta=\sin(\theta)\cdot \cos(\theta)+\int\,d\theta -\int\,\cos^2(\theta)\,d\theta$
por lo tanto $$\displaystyle 2\,\int\,\cos^2(\theta)\,d\theta =\sin(\theta)\cdot \cos(\theta)+\int\,d\theta $$ es decir $$2\,J=\sin(\theta)\cdot \cos(\theta)+\int\,d\theta$$ y así, $$J=\dfrac{1}{2}\,\sin(\theta)\cdot \cos(\theta)+\dfrac{1}{2}\,\theta+C_1$$ con lo cual, $$I=\sqrt{b^2/4-c}\cdot \left(\dfrac{1}{2}\,\sin(\theta)\cdot \cos(\theta)+\dfrac{1}{2}\,\theta\right)+C_2$$ que podemos expresar de la forma $$I=\sqrt{b^2/4-c}\cdot \left(\dfrac{1}{2}\,\sin(\theta)\cdot \sqrt{1-\sin^2(\theta)}+\dfrac{1}{2}\,\theta\right)+C_2$$ Deshaciendo ahora el cambio de variable, $$I=\sqrt{b^2/4-c}\cdot \left(\dfrac{1}{2}\,\dfrac{x+b/2}{\sqrt{b^2/4-c}}\cdot \sqrt{1-\left( \dfrac{x+b/2}{\sqrt{b^2/4-c}} \right)^2}+\dfrac{1}{2}\,\text{arcsin}\,\left( \dfrac{x+b/2}{\sqrt{b^2/4-c}} \right)\right)+C$$ $\diamond$

Integrales indefinidas en las que aparecen senos y cosenos

Voy a resolver la siguiente integral indefinida: $$\displaystyle \int\,\dfrac{dx}{\sin(x)+\cos(x)}$$

Denotemos por $I$ a la integral indefinida propuesta. Este tipo de integrales en las que aparecen senos y cosenos suelen resolverse mediante el cambio de variable $\tan(x/2)=u$, entonces $x/2=\text{arctan}(u) \Leftrightarrow x = 2\,\text{arctan}(u) \therefore dx = (2\,\text{arctan}(u))'\,du =\dfrac{2}{1+u^2}\,du \quad (1)$

Por otra parte, $\cos(x)=\cos^2\,(x/2)-\sin^2\,(x/2)=\cos^2\,(x/2)-(1-\cos^2\,(x/2))= 2\,\cos^2\,(x/2)-1$, luego $\cos^2\,(x/2)=\dfrac{\cos\,(x)+1}{2}$ y por tanto $\cos(x/2)=\pm\,\sqrt{\dfrac{\cos\,(x)+1}{2}} \quad (2)$; de ahí, por la identidad fundamental de la trigonometría, deducimos que $\sin^2\,(x/2)=1-\cos^2\,(x/2)=1-\dfrac{\cos\,(x)+1}{2}=\dfrac{-\cos\,(x)+1}{2}$, por lo que $\sin\,(x/2)=\pm\,\sqrt{\dfrac{-\cos\,(x)+1}{2}} \quad (3)$. Dividiendo miembro a miembro (3) entre (2), $\tan\,(x/2)=\sqrt{\dfrac{1-\cos\,(x)}{1+\cos\,(x)}}$; es decir, $u=\sqrt{\dfrac{1-\cos\,(x)}{1+\cos\,(x)}}$, luego $u^2=\dfrac{1-\cos\,(x)}{1+\cos\,(x)}$, esto es $u^2+u^2\,\cos(x)=1-\cos\,(x)$, de donde $\cos\,(x)\,(u^2+1)=1-u^2$, y por tanto, $\cos\,(x)=\dfrac{1-u^2}{1+u^2} \quad (4)$, así que, (otra vez) por la identidad fundamental de la trigonometría, $\sin^2\,(x)=1-\cos^2\,(x)=1-\dfrac{(1-u^2)^2}{(1+u^2)^2}=\dfrac{4\,u^2}{(1+u^2)^2}$, con lo cual, $\sin\,(x)=\dfrac{2\,u}{1+u^2} \quad (5)$

Así, teniendo en cuenta (1), (4) y (5), vemos que $I=\displaystyle \int\,\dfrac{\frac{2\,du}{1+u^2}}{\frac{2\,u}{1+u^2}+\frac{1-u^2}{1+u^2}}=\int\,\dfrac{2\,du}{-u^2+2\,u+1}=$
  $\displaystyle=2\,\int\,\dfrac{du}{-u^2+2\,u+1}=-2\,\int\,\dfrac{du}{u^2-2\,u-1} =-2\,\int\,\dfrac{du}{(u-(1+\sqrt{2}))(u-(1-\sqrt{2}))}$. Denominemos $J$ a esta integral, entonces $I=-2J$. Para resolver $J$, descompongamos la fracción del integrando de la forma $\dfrac{1}{(u-(1+\sqrt{2}))(u-(1-\sqrt{2}))}=\dfrac{A}{(u-(1+\sqrt{2}))}+\dfrac{B}{(u-(1-\sqrt{2}))}$ para lo cual $\left\{\begin{matrix}A+B=0 \\ (1-\sqrt{2})\,A+ (1+\sqrt{2})\,B=1\end{matrix}\right.$, sistema de ecuaciones lineales compatible determinado cuya solución es $A=-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$, $B=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$. Entoces $\displaystyle J=\int\,\dfrac{-\frac{1}{2\sqrt{2}}}{u-(1+\sqrt{2})}\,du+\int\,\dfrac{\frac{1}{2\sqrt{2}}}{u-(1-\sqrt{2})}\,du=$
  $\displaystyle=-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\,\ln(|u-(1+\sqrt{2})|)+\frac{1}{2\sqrt{2}}\,\ln(|u-(1-\sqrt{2})|)+C_1$; por lo tanto la solución de $I$ es $\displaystyle=I=\dfrac{2}{2\sqrt{2}}\,\ln(|u-(1+\sqrt{2})|)-\frac{2}{2\sqrt{2}}\,\ln(|u-(1-\sqrt{2})|)+C_1=$   $\displaystyle=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,\ln(|u-(1+\sqrt{2})|)-\frac{\sqrt{2}}{2}\,\ln(|u-(1-\sqrt{2})|)+C$, y deshaciendo el cambio de variable obtenemos finalmente: $$I\displaystyle=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,\ln(|\tan(x/2)-(1+\sqrt{2})|)-\frac{\sqrt{2}}{2}\,\ln(|\tan(x/2)-(1-\sqrt{2})|)+C$$ $\diamond$

Cálculo de integrales indefinidas con una fracción algebraica como integrando

Nos proponemos resolver la siguiente integral indefinida: $$\int \dfrac{5x+3}{(x-3)(x+4)}\,dx$$

Podemos escribir el integrando como una suma de fracciones con denominadores respectivos igual a los factores del denominador de la expresión original y numeradores $A$ y $B$ (polinomios de grado cero), respectivamente, el valor de los cuales vamos a determinar: $$\dfrac{5x+3}{(x-3)(x+4)}=\dfrac{A}{x-3}+\dfrac{B}{x+4}\,\quad (1)$$ de esta manera, $$\int\,\dfrac{5x+3}{(x-3)(x+4)}\,dx=\int\,\dfrac{A}{x-3}\,dx+\int\,\dfrac{B}{x+4}\,dx$$ y como los segundos miembros son integrales inmediatas, $$\int\,\dfrac{5x+3}{(x-3)(x+4)}\,dx=A\,\ln(|x-3|)+B\,\ln(|x+4|)+C \,\quad(2)\,\text{siendo}\,C\,\text{la constante de integración}$$ Para calcular el valor de los coeficientes $A$ y $B$, de $(1)$ se tiene que $$5x+3=A\,(x+4)+B\,(x-3)$$ esto es $$5x+3=(A+B)\,x+(4\,A - 3\,B) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}A+B=5 \\ 4\,-3\,B=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}A=\dfrac{18}{7} \\ B=\dfrac{17}{7}\end{matrix}\right.$$ Y sustituyendo en $(2)$, $$\int\,\dfrac{5x+3}{(x-3)(x+4)}\,dx=\dfrac{18}{7}\,\ln(|x-3|)+\dfrac{17}{7}\,\ln(|x+4|)+C$$ $\diamond$

Cálculo de integrales indefinidas y definidas con GNU MAXIMA