Una integral cuyo integrando es la función irracional $f(x)=\sqrt{x^2+bx+c}$

Voy a resolver la siguiente integral indefinida: $$I=\displaystyle \int\,\sqrt{x^2+bx+c}\;dx$$

Observemos que podemos reexpresar el integrando de la forma:
$\sqrt{x^2+bx+c}=\sqrt{(x+b/2)^2-b^2/4+c}=\sqrt{(x+b/2)^2-(b^2/4-c)}=$   $=\sqrt{b^2/4-c}\,\sqrt{\dfrac{(x+b/2)^2}{b^2/4-c}-1}=\sqrt{b^2/4-c}\,\sqrt{\dfrac{(x+b/2)^2}{(\sqrt{b^2/4-c})^2}-1}=\sqrt{b^2/4-c}\cdot \sqrt{\left(\dfrac{x+b/2}{\sqrt{b^2/4-c}} \right)^2-1} $

Mediante el cambio de variable $\sin(\theta)=\dfrac{x+b/2}{\sqrt{b^2/4-c}}$, se tiene que $\cos(\theta)\,d\theta=\dfrac{1}{\sqrt{b^2/4-c}}\,dx$, y por tanto, $dx=\sqrt{b^2/4-c}\cdot \cos(\theta)\,d\theta$, la integral propuesta es $$I=\displaystyle \int\,(\sqrt{b^2/4-c}) \cdot \sqrt{\sin^2\,(\theta)-1} \cdot (\sqrt{b^2/4-c})\cdot \cos(\theta))\,d\theta=\sqrt{b^2/4-c}\,\int\,\sqrt{\sin^2\,(\theta)-1}\cdot \cos(\theta))\,d\theta=$$ $$=\sqrt{b^2/4-c}\,\int\,\sqrt{1-\cos^2\,(\theta)-1}\cdot \cos(\theta))\,d\theta=\sqrt{b^2/4-c}\,\int\,\sqrt{\cos^2\,(\theta)}\cdot \cos(\theta))\,d\theta=$$ $$=\sqrt{b^2/4-c}\,\int\,\cos\,(\theta)\cdot \cos(\theta))\,d\theta=\sqrt{b^2/4-c}\,\int\,\cos^2\,(\theta)\,d\theta$$ Denotemos ahora $J=\int\,\cos^2\,(\theta)\,d\theta$, integral que podemos resolver mediante el método de integración de por partes: $$\displaystyle J=\int\,\cos(\theta)\,(\cos(\theta)\,d\theta)$$ Sea $u=\cos\,(\theta)$ y $dv=\cos(\theta)\,d\theta)$; entonces $du=-\sin(\theta)\,d\theta$ y $v=\sin(\theta)$, con lo cual $$\displaystyle J=\sin(\theta)\cdot \cos(\theta)-\int\,\sin(\theta)\cdot (-\sin(\theta)\,d\theta)$$ es decir
  $\displaystyle \int\,\cos^2(\theta)\,d\theta=\sin(\theta)\cdot \cos(\theta)+\int\,\sin^2(\theta)\,d\theta$
    $\displaystyle \int\,\cos^2(\theta)\,d\theta =\sin(\theta)\cdot \cos(\theta)+\int\,(1-\cos^2(\theta)\,d\theta=\sin(\theta)\cdot \cos(\theta)+\int\,d\theta -\int\,\cos^2(\theta)\,d\theta$
por lo tanto $$\displaystyle 2\,\int\,\cos^2(\theta)\,d\theta =\sin(\theta)\cdot \cos(\theta)+\int\,d\theta $$ es decir $$2\,J=\sin(\theta)\cdot \cos(\theta)+\int\,d\theta$$ y así, $$J=\dfrac{1}{2}\,\sin(\theta)\cdot \cos(\theta)+\dfrac{1}{2}\,\theta+C_1$$ con lo cual, $$I=\sqrt{b^2/4-c}\cdot \left(\dfrac{1}{2}\,\sin(\theta)\cdot \cos(\theta)+\dfrac{1}{2}\,\theta\right)+C_2$$ que podemos expresar de la forma $$I=\sqrt{b^2/4-c}\cdot \left(\dfrac{1}{2}\,\sin(\theta)\cdot \sqrt{1-\sin^2(\theta)}+\dfrac{1}{2}\,\theta\right)+C_2$$ Deshaciendo ahora el cambio de variable, $$I=\sqrt{b^2/4-c}\cdot \left(\dfrac{1}{2}\,\dfrac{x+b/2}{\sqrt{b^2/4-c}}\cdot \sqrt{1-\left( \dfrac{x+b/2}{\sqrt{b^2/4-c}} \right)^2}+\dfrac{1}{2}\,\text{arcsin}\,\left( \dfrac{x+b/2}{\sqrt{b^2/4-c}} \right)\right)+C$$ $\diamond$