La suma $1+3+5+7+\ldots$ es una serie telescópica

Me propongo demostrar que la suma de toda secuencia de números naturales impares es un cuadrado perfecto

Estudiemos la serie

$$S_n=\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1}\,(2i+1)$$ Obsérvese que esta serie es, además de aritmética -con lo cual podríamos sumarla de una manera muy sencilla-, es también de tipo telescópico, pues puede reescribirse como la suma de un conjunto de términos positivos y negativos los cuales se anulan por parejas, salvo el primero y el último, que no se anula entre sí, quedando por tanto dicha suma igual al primero más el último. En efecto -y eso es lo que cuesta más de ver-, puede comprobarse que, por ejemplo, que la suma de los cuatro primeros términos, $S_4 = \displaystyle \sum_{i=0}^{3}\,(2i+1)=1+3+5+7$, puede reescribirse de la forma:
  $S_4=1+3+5+7=$
                $=((0+1)-0^2)+(1+1)^2-1^2)+((2+1)^2-2^2)+((3+1)^2-3^2)$
                  $=(1-0)+(4-1)+(9-4)+(16-9)$
                    $=-1+1+4-4+9-9+16$
                  $=16$
                    $=4^2$

Escribiendo la suma genérica para $n$ términos:

$$S_n=\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1}\,(2i+1)= \sum_{i=0}^{n-1}\,\left((i+1)^2-i^2\right)=\ldots=n^2$$ Nota: Desde luego, si sumamos la serie mediante la fórmula de la suma de los primeros $n$ términos consecutivos de una progresión aritmética de diferencia $d=2$, primer término $a_0=1$, y $n$-ésimo término $a_n=a_0+(n-1)\,d=1+(n-1)\cdot 2=2n-1$, obtendremos el mismo resultado. Es fácil comprobarlo; en efecto, $$S_{n}=\dfrac{a_0+a_n}{2}\cdot n=\dfrac{1+(2n-1)}{2}\cdot n=\dfrac{2n}{2}\cdot n=n^2$$ $\diamond$