La suma $1+3+5+7+\ldots$ es una serie telescópica

Me propongo demostrar que la suma de toda secuencia de números naturales impares es un cuadrado perfecto

Estudiemos la serie $$S_n=\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1}\,(2i+1)$$ Obsérvese que esta serie es, además de aritmética -con lo cual podríamos sumarla de una manera muy sencilla-, es también de tipo telescópico, pues puede reescribirse como la suma de un conjunto de términos positivos y negativos los cuales se anulan por parejas, salvo el primero y el último, que no se anula entre sí, quedando por tanto dicha suma igual al primero más el último. En efecto -y eso es lo que cuesta más de ver-, puede comprobarse que, por ejemplo, que la suma de los cuatro primeros términos, $S_4 = \displaystyle \sum_{i=0}^{3}\,(2i+1)=1+3+5+7$, puede reescribirse de la forma:
  $S_4=1+3+5+7=$
                $=((0+1)-0^2)+(1+1)^2-1^2)+((2+1)^2-2^2)+((3+1)^2-3^2)$
                  $=(1-0)+(4-1)+(9-4)+(16-9)$
                    $=-1+1+4-4+9-9+16$
                  $=16$
                    $=4^2$

Escribiendo la suma genérica para $n$ términos: $$S_n=\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1}\,(2i+1)= \sum_{i=0}^{n-1}\,\left((i+1)^2-i^2\right)=\ldots=n^2$$ Nota: Desde luego, si sumamos la serie mediante la fórmula de la suma de los primeros $n$ términos consecutivos de una progresión aritmética de diferencia $d=2$, primer término $a_0=1$, y $n$-ésimo término $a_n=a_0+(n-1)\,d=1+(n-1)\cdot 2=2n-1$, obtendremos el mismo resultado. Es fácil comprobarlo; en efecto, $$S_{n}=\dfrac{a_0+a_n}{2}\cdot n=\dfrac{1+(2n-1)}{2}\cdot n=\dfrac{2n}{2}\cdot n=n^2$$ $\diamond$

Series numéricas telescópicas

Decimos que una serie es "telescópica" si todos sus términos se cancelan excepto el primero y el último, lo cual facilita enormemente su análisis.

Así, por ejemplo, la suma de la secuencia $$S_4=\displaystyle \sum_{i=1}^{4}\,\dfrac{1}{i\,(i+1)}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{20}$$ puede reescribirse de la forma, $$S_4=(1-\dfrac{1}{2})+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})+(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4})+(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5})=\displaystyle \sum_{i=1}^{4}\,\left(\dfrac{1}{i}-\dfrac{1}{i+1}\right)=\sum_{i=1}^{4}\,(a_i-a_{i+1}) \quad (1)$$ donde, $a_i=\dfrac{1}{i}$ y $a_{i+1}=\dfrac{1}{i+1}$

Es claro que podemos escribir esta suma como $$\left(1+(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2})+(-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3})+(-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4})\right)-\dfrac{1}{5}$$ esto es $$1+(0+0+0)-\dfrac{1}{5}$$ siendo $a_1=1$, $a_2=a_3=a_4=0$, y $a_5=a_{4+1}=\dfrac{1}{4+1}=\dfrac{1}{5}$
Así pues vemos con claridad que el valor de esta suma, que es la de la serie original, es $$1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}$$ es decir, $S_4=a_1-a_{4+1}$, y, para un número $n$ de arbitrario de términos de la serie (1), basta con actualizar dicho valor de $n$ en la fórmula deducida $$S_n=a_1-a_{n+1} \quad (2)$$

En general, se infiere fácilmente que la fórmula de suma (2) es válida para cualquier secuencia telescópica, es decir, para cualquier secuencia/serie que, sea cual sea la expresión de $a_i$, podamos reescribirla de manera equivalente de forma que se cancelen todos los términos de la suma excepto el primero y el último.

Bien, visto ésto, estamos en condiciones de responder con facilidad a la siguiente pregunta: ¿Cuál será por tanto el valor de la suma de infinitos términos (serie infinita) (suma de series telescópicas de infinitos términos? $$\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\,\dfrac{1}{i\,(i+1)}$$ Ya sabemos que podemos escribir esta serie de la forma equivalente: $$\displaystyle S_{\infty}=\sum_{i=1}^{\infty}\,\left(\dfrac{1}{i}-\dfrac{1}{i+1}\right)=\lim_{n\rightarrow \infty}\left((a_1-a_{1+1})+(a_2-a_{2+1})+\ldots+(a_n-a_{n+1})+\ldots\right)=\lim_{n\rightarrow \infty}\,(a_1-a_{n+1})$$ donde, en el caso concreto del ejemplo que nos ocupa, $$S_{\infty}=\lim_{n\rightarrow \infty}\,(1+\dfrac{1}{n+1})=1+0=1$$

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