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jueves, 6 de febrero de 2025

Un ejercicio para calcular el polinomio interpolador de Lagrange

Sabemos que la gráfica de una cierta función polinómica de grado 2 pasa por los puntos del plano A_{0}(1,1), A_{1}(2,2) y A_{2}(4,7). Me propongo calcular el polinomio interpolador de Lagrange, dados esos tres puntos.

Voy a utilizar el método de Lagrange para encontrar el polinomio interpolador: p(x)=\sum_{i=0}^{2}\,L_{i}(x)\,f(x_i)\quad \text{donde}\quad L_{i}(x)=\prod_{j=0; j\neq i}^{2}\,\dfrac{x-x_j}{x_i-x_j}\,(i=0,1,2) Entonces, L_{0}(x)=\dfrac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}=\dfrac{1}{3}\,(x-2)(x-4) L_{1}(x)=\dfrac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}=-\dfrac{1}{3}\,(x-1)(x-4) L_{2}(x)=\dfrac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}=\dfrac{1}{6}\,(x-1)(x-2) Por lo tanto, p(x)=\dfrac{1}{3}\,(x-2)(x-4)-\dfrac{1}{3}\,(x-1)(x-4)+\dfrac{1}{6}\,(x-1)(x-2)=\dfrac{1}{2}\,x^2-\dfrac{1}{2}\,x+1

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Observaciones:
  1. Si calculamos la fórmula de la parábola que posa por estos tres puntos, f(x)=a\,x^2+b\,x+c \quad (1), llegaremos al mismo resultado: sustituyendo las coordenadas de cada uno de los puntos en (1) se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales \left\{\begin{matrix}a+b+c=1\\4a+2b+c=2\\16a+4b+c=7\end{matrix}\right., cuya solución es precisamente a=\dfrac{1}{2}, b=-\dfrac{1}{2} y c=1, que son los coeficientes del resultado obtenido por el método de Lagrange.
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