Un ejercicio para calcular el polinomio interpolador de Lagrange

Sabemos que la gráfica de una cierta función polinómica de grado $2$ pasa por los puntos del plano $A_{0}(1,1)$, $A_{1}(2,2)$ y $A_{2}(4,7)$. Me propongo calcular el polinomio interpolador de Lagrange, dados esos tres puntos.

Voy a utilizar el método de Lagrange para encontrar el polinomio interpolador: $$p(x)=\sum_{i=0}^{2}\,L_{i}(x)\,f(x_i)\quad \text{donde}\quad L_{i}(x)=\prod_{j=0; j\neq i}^{2}\,\dfrac{x-x_j}{x_i-x_j}\,(i=0,1,2)$$ Entonces, $$L_{0}(x)=\dfrac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}=\dfrac{1}{3}\,(x-2)(x-4)$$ $$L_{1}(x)=\dfrac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}=-\dfrac{1}{3}\,(x-1)(x-4)$$ $$L_{2}(x)=\dfrac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}=\dfrac{1}{6}\,(x-1)(x-2)$$ Por lo tanto, $$p(x)=\dfrac{1}{3}\,(x-2)(x-4)-\dfrac{1}{3}\,(x-1)(x-4)+\dfrac{1}{6}\,(x-1)(x-2)=\dfrac{1}{2}\,x^2-\dfrac{1}{2}\,x+1$$

-oOo- Observaciones:

1. Si calculamos la fórmula de la parábola que posa por estos tres puntos, $f(x)=a\,x^2+b\,x+c \quad (1)$, llegaremos al mismo resultado: sustituyendo las coordenadas de cada uno de los puntos en (1) se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales $\left\{\begin{matrix}a+b+c=1\\4a+2b+c=2\\16a+4b+c=7\end{matrix}\right.$, cuya solución es precisamente $a=\dfrac{1}{2}$, $b=-\dfrac{1}{2}$ y $c=1$, que son los coeficientes del resultado obtenido por el método de Lagrange.

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