Acerca del fundamento matemático de la navegación hiperbólica, basado en las propiedades de una hipérbola cuyos focos correspondan a las estaciones emisoras

La navegación hiperbólica, para muy largas distancias -muy utilizada antes de la aparición de los sitemas de posicionamiento satelital- consiste básicamente en la recepción por parte de un barco o un avión de señales de radio, con frecuencias del orden de los 100 kHz, emitidos por varias estaciones separadas una gran distancia entre ellas, pongamos que del orden de mil kilómetros, y de manera sincronizada. Al encontrarse el barco a mucha distancia de las dos estaciones emisoras, habrá una diferencia de tiempos pequeña pero apreciable (del orden de milisegundos) en la recepción de estas señales.

Consideremos el plano en el que se encuentran un barco y dos estaciones emisoras. Emplearemos un sistema de ejes de coordenadas cartesianas, con ambos ejes graduados de la misma manera. Las coordenadas de las dos estaciones pongamos que sean $A(500,0)$ y $B(-500,0)$, cantidades que están expresadas en kilómetros. Supongamos que en el momento de recibir las señales, la posición del barco es $P(x_P\,,\,600)$, y la recepción en P de la señal emitida por A se produce 3 ms antes que la que ha emitido B, lo cual significa que, en línea recta, P está más cerca de A que de B; concretamente, dicha diferencia la calculamos fácilmente multiplicando la velocidad de la luz (ondas de radio) por esa diferencia de tiempo: $\ell=(3\times 10^8)\cdot (3\times 10^{-3})=9\times 10^5\;\text{m} = 900\,\text{ km}$.

Pues bien, a partir de las propiedades de la hipérbola, cuya ecuación estándar (centrada en el origen de coordenadas $O(0,0)$) es $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1 \quad (1)$, donde $a=\text{dist}(O,V)=\text{dist}(O,V')$ denotando por $V$ y $V'$ los vértice de la parábola. Vamos a determinar la coordenada x del barco.

Las posiciones de las dos estaciones emisoras corresponden a los focos de una hipérbola. La distancia entre estos dos foco A y B, situados en el eje Ox y equidistantes del origen de coordenadas. El centro de la hipérbola se situa por tanto en el punto medio del segmento $[A,B]$. Entonces, la distancia entre los dos focos A y B, $\text{dist}(A,B)$ -cantidad a la que suele denominarse $2c$, pues $\text{dist}(O,A)=\text{dist}(O,B)=c$- es por tanto $2c=500-(-500)=1000\,\text{km}$, luego $c=\dfrac{1000}{2}=500\,\text{km}$. Por otra parte, la distancia entre el vértice V y el foco A es $c-a$, que es la misma que la distancia entre el foco B y el vértice V'. Trasladando, a partir de B, la distancia $\ell$ sobre el segmento $[A,B]$ es claro que $2(c-a)+\ell=2c \therefore a=\dfrac{\ell}{2}=\dfrac{900}{2}=450\,\text{km}$. Y como la relación que liga los parámetros $a,b$ y $c$ en una hipérbola es $c^2=a^2+b^2$, se deduce que $b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{500^2-450^2}\approx 218\,\text{km}$

En consecuencia, la ecuación de la hipérbola es $\dfrac{x^2}{450^2}-\dfrac{y^2}{218^2}=1$. Y, teniendo en cuenta que $y_P=600$, se tiene que al ser $P$ un punto de dicha hipérbola, sus coordenadas tienen que satisfacer su ecuación, luego $\dfrac{x_{P}^2}{450^2}-\dfrac{600^2}{218^2}=1$; por lo tanto, $x_P=\pm 450 \cdot \sqrt{(600/218)^2-1} \approx \pm 1\,318$, y al estar $P$ más cerca de $A$ que de $B$, discriminamos el resultado negativo (la abscisa que buscamos ha de ser positiva), por tanto la posición de $P$ es $P(1\,318\,,\,600)$.

Nota: En el ejemplo hemos partido del conocimiento previo de una de las dos coordenadas del barco y nos ha bastado una pareja de estaciones emisoras para determinar la otra coordenada. Si, como es habitual, desconocemos las dos coordenadas, podemos valernos de una tercera estación emisora, de manera que tomando las tres estaciones de dos en dos, podremos determinar las ecuaciones de las dos hipérbolas correspondientes, calculando finalmente el punto de intersección de ambas, que ha de corresponder a la posición del barco.

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