Otro ejemplo de cálculo del módulo y del argumento principal de número complejo que resulta del producto de dos números complejos

Vamos a calcular el módulo y el armento del siguiente producto de números complejos

$$i^{431}\cdot (1+i)$$

Recordemos que el módulo del producto de dos números complejos es el producto de los módulos de los factores, y su argumento principal es igual a la suma de los argumentos de los factores.

Desde luego, $|i^{431}|=1$, y como $i^{431}=i^3 \because 432=4\cdot 107+3$, se tiene que $\text{Arg}(i^{431})=\text{Arg}(i^3)=\text{Arg}(-i)=-\dfrac{\pi}{2}$. Por otra parte, $|1+i|=\sqrt{2}$, y $\text{Arg}(1+i)=\dfrac{\pi}{4}$.

Y, por lo dicho en el primer párrafo, $|i^{431}\cdot (1+i)|=|i^{431}|\cdot |1+i|=1\cdot \sqrt{2}=\sqrt{2}$ y $\text{Arg}\left( i^{431}\cdot (1+i) \right)=\text{Arg}(i^{431})+\text{Arg}(1+i)=-\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{\pi}{4}$
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