Raíz $n$-ésima de un número complejo

Voy a calcular, como ejercicio, los valores de $\sqrt[3]{8\,i}$ en el conjunto de los números complejos:

Sabemos que, siendo $z\in \mathbb{C}$, entonces existen $n$ valores (en $\mathbb{C}$) como resultado de $\sqrt[n]{z}$. En concreto, $\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}\cdot \left( \cos\,\left(\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}\right)+i\,\sin\,\left(\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}\right) \right)$, con $k=0,1,2,\ldots,n-1$, donde $\varphi$ es el primer argumento de $z$. En este caso, como $z=8\,i$, se tiene que $|z|=8$ y $\varphi=\dfrac{\pi}{2}$, y $n=3$, con lo cual: $$\sqrt[3]{8\,i}=\left\{\begin{matrix}\cos\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{2}+0\cdot 2\pi}{3}\right)+i\,\sin\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{2}+0\cdot 2\pi}{3}\right)=\cos(\dfrac{\pi}{6})+i\,\sin(\dfrac{\pi}{6})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+i\,\dfrac{1}{2}& (\text{para}\,\,k=0) \\ \cos\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{2}+1\cdot 2\pi}{3}\right)+i\,\sin\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{2}+1\cdot 2\pi}{3}\right)=\cos(\dfrac{5\,\pi}{6})+i\,\sin(\dfrac{5\,\pi}{6})=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+i\,\dfrac{1}{2}& (\text{para}\,\,k=1) \\ \cos\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{2}+2\cdot 2\pi}{3}\right)+i\,\sin\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{2}+2\cdot 2\pi}{3}\right)=\cos(\dfrac{3\,\pi}{2})+i\,\sin(\dfrac{3\,\pi}{2})=-1+i\cdot 0=-1& (\text{para}\,\,k=2)\end{matrix}\right.$$ $\diamond$