Un ejercicio con matrices en el que interviene la característica del anillo al que pertenecen los elementos de las mismas

En [1] (e. 8, p. 15) me he encontrado con el siguiente problema propuesto, que voy a resolver a continuación.

Se considera el anillo de las matrices cuadradas de orden $n\ge 3$ sobre un cuerpo $(\mathbb{K},+,.)$, $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$, con las operaciones suma y producto de matrices

Sean $A_{n \times n}=\begin{pmatrix}0 & 1 & &&\\ & 0 & 1 && \\ && \ddots & \ddots && \\& && 0 & 1 \\ & && & 0 \end{pmatrix}$ (ceros en la diagonal principal y unos en la segunda diagonal superior, siendo nulos el resto de los elmentos) y $B_{n \times n}=\begin{pmatrix}0 & & &&\\ 1 & 0 & && \\ & 2 & 0 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ \\ & & & n-1 & 0 \end{pmatrix}$ (ceros en la diagonal principal y los números de la secuencia aritmética $1,2,\ldots,n-1$ en la segunda diagonal inferior, siendo nulos el resto de los elmentos)

Demuéstres que para que se cumpla la igualdad $AB-BA=I$ ($I$ denota la matriz identidad de orden $n$) es necesario que la característica $c$ del anillo $\mathbb{K}$ ha de ser igual al orden, $n$, de dichas matrices.

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Recordemos que la característica, $c$, de un anillo $\mathbb{K}$ (el cuerpo al que pertenecen los elementos de las matrices, tiene también estructura de anillo) se define como el menor entero no negativo, $c$, tal que $1_{\mathbb{K}}+\overset{\underbrace{c}}{\ldots}+1_{\mathbb{K}}=0_{\mathbb{K}}$; se demuestra que dicho número es primo, y, en caso de que no exista, entonces, se toma $c=0$.

Para ver cómo es la matriz que resulta de hacer la operación del primer miembro de la igualda propuesta, ensayamos $n=3$, y es fácil ver que (omito los cálculos tediosos) resulta $AB-BA=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1-3 \end{pmatrix}$; para $n=4$, $AB-BA=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1-4 \end{pmatrix}$; para $n=5$, $AB-BA=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1-5 \end{pmatrix}$. De lo cual, se induce que para un $n\ge 3$ genérico, $AB-BA= \begin{pmatrix}1 & && & & \\ & 1 & & & \\ && \ddots && \\ &&&& 1-n\end{pmatrix}$ (matriz diagonal)

De ahí se sigue que dicha matriz $AB-BA$ es la matriz identidad, $I$, si el orden de las matrices es igual a la característica del anillo $\mathbb{K}$; esto es, si $n=c$, ya que, en tal caso $c:=1_{\mathbb{K}}+\overset{\underbrace{n}}{\ldots}+1_{\mathbb{K}}=n\cdot1_{\mathbb{K}}=0_{\mathbb{K}}=0$, y, por consiguiente, $1-n=1-0=1$. $\diamond$

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Referencias:

  [1] S. Xambó, Algebra lineal y geometrías lineales, volumen I, (Eunibar, Barcelona, 1977)