Radicación de números complejos

Siendo $z\in \mathbb{C}$, nos proponemos resolver la ecuación

$$z^3=1+i$$

Es evidente que $z=\sqrt[3]{1+i}$. Sabemos, que la raíz $n$-ésima de un número complejo, como es $w=1+i$, tiene $n$ soluciones: $\sqrt[n]{|w|}\cdot e^{i\dfrac{\text{arg}(w)+2\pi\,k}{n}}\,;k=0,1,2, \ldots,n-1$, donde $\text{arg}(w)$ representa el valor principal (o primer valor) del argumento de $w$, siendo $0\le \text{arg}(w) \lt 2\pi$, si bien también puede optarse por elegir otro intervalo de la misma longitud, $2\,\pi$, tal como $-\pi \lt \text{arg}(z)\le \pi$.

En este caso, pues, $w=1+1\cdot i$, siendo $|w|=\sqrt{(\mathcal{Re}(w))^2+\mathcal{Im}(w))^2}\overset{\mathcal{Re}(w)=1\;\;\mathcal{Im}(w)=1}{=}\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$. En cuanto a $\text{Arg}(w)$ (argumento de $w$), tenemos que su valor principal es $\text{arg}(w)=\text{arcsen}\,\left(\dfrac{\mathcal{Im}(w)}{|w|}\right)$, y, en nuestro caso, $\text{arg}(w)=\text{arcsen}\,\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\dfrac{\pi}{4}$, pues hay que tener en cuenta, además, que el afijo del $w$ en el plano de Argand se encuentra en el primer cuadrante, pues tanto la parte real como la imaginaria son cantidades positivas, por tanto estará entre $0$ y $\pi/2$ radianes.

Entonces, como $n=3$ (índice del radical), existen tres raíces:

$$\left\{\begin{matrix} z_0=\sqrt[3]{\sqrt{2}} \cdot e^{i\,\frac{\pi/4+2\pi\cdot 0}{3}}=\sqrt[6]{2}\cdot e^{i\,\frac{\pi/4}{3}}=\sqrt[6]{2}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{12}} \\ z_1=\sqrt[3]{\sqrt{2}} \cdot e^{i\,\frac{\pi/4+2\pi\cdot 1}{3}}=\sqrt[6]{2}\cdot e^{i\,\frac{9\,\pi}{12}} \\ \\ z_2=\sqrt[3]{\sqrt{2}} \cdot e^{i\,\frac{\pi/4+2\pi\cdot 2}{3}}=\sqrt[6]{2}\cdot e^{i\,\frac{17\,\pi}{12}} \end{matrix}\right.$$

-oOo- Comprobación:

• $(z_0)^3\overset{?}{=}1+i$; en efecto, $(z_0)^3=\left(\sqrt[6]{2}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{12}}\right)^3=\left(\sqrt[6]{2}\right)^3\cdot\left(e^{i\,\frac{\pi}{12}}\right)^3=\sqrt{2}\cdot e^{i\,\frac{3\,\pi}{12}}=\sqrt{2}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}= \sqrt{2}\cdot \left( \cos\,(\frac{\pi}{4}) + i\,\sin\,(\frac{\pi}{4} ) \right) =$
  $=\sqrt{2}\cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + i\,\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 1+i$
• $(z_1)^3\overset{?}{=}1+i$; así es: $(z_{1}^3=\left(\sqrt[6]{2}\cdot e^{i\,\frac{9\pi}{12}}\right)^3=\left(\sqrt[6]{2}\right)^3\cdot\left(e^{i\,\frac{9\pi}{12}}\right)^3=\sqrt{2}\cdot e^{i\,\frac{3\cdot 9\,\pi}{12}}=\sqrt{2}\cdot e^{i\,\frac{9\pi}{4}}=\sqrt{2}\cdot e^{i\,(2\,\pi+\frac{\pi}{4})}=$
  $\sqrt{2}\cdot e^{i\,2\,\pi}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}\cdot 1\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}\cdot \left( \cos\,(\frac{\pi}{4}) + i\,\sin\,(\frac{\pi}{4} ) \right) =\sqrt{2}\cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + i\,\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 1+i$
• $(z_{2})^3 \overset{?}{=}1+i$; también se cumple: $(z_{2})^3=\left(\sqrt[6]{2}\cdot e^{i\,\frac{17\pi}{12}}\right)^3=\left(\sqrt[6]{2}\right)^3\cdot\left(e^{i\,\frac{17\pi}{12}}\right)^3=\sqrt{2}\cdot e^{i\,\frac{3\cdot 17\,\pi}{12}}=\sqrt{2}\cdot e^{i\,\frac{17\pi}{4}}=\sqrt{2}\cdot e^{i\,(4\,\pi+\frac{\pi}{4})}=$
  $\sqrt{2}\cdot e^{i\,2\cdot 2\,\pi}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}\cdot 1\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}\cdot \left( \cos\,(\frac{\pi}{4}) + i\,\sin\,(\frac{\pi}{4} ) \right) =\sqrt{2}\cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + i\,\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 1+i$

$\diamond$