Radicación de números complejos

Voy a calcular, como ejercicio, los valores de $\sqrt[4]{1}$ en el conjunto de los números complejos:

Sé que, siendo $z\in \mathbb{C}$, entonces existen $n$ valores (en $\mathbb{C}$) como resultado: $\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}\cdot \left( \cos\,\left(\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}\right)+i\,\sin\,\left(\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}\right) \right)$, con $k=0,1,2,\ldots,n-1$, donde $\varphi$ es el primer argumento de $z$. En este caso, como $z=1=1+i\,0$, se tiene que $|z|=1$ y $\varphi=\text{arctan}\,(\frac{0}{1})=\text{arctan}\,0=0$, con lo cual: $$\sqrt[4]{1}=\left\{\begin{matrix}\text{para}\,k=0,\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}=\dfrac{0+0\cdot 2\pi}{4}=0\,\therefore\, &1\cdot ( \cos\,0+i\,\sin\,0)=1 \\ \text{para}\,k=1,\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}=\dfrac{0+1\cdot 2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\,\therefore\, &1\cdot ( \cos\,\frac{\pi}{2}+i\,\sin\,\frac{\pi}{2})=i \\ \text{para}\,k=2,\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}=\dfrac{0+2\cdot 2\pi}{4}=\pi\,\therefore\, &1\cdot ( \cos\,\pi+i\,\sin\,\pi)=-1 \\ \text{para}\,k=3,\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}=\dfrac{0+3\cdot 2\pi}{4}=\dfrac{3}{2}\,\pi \equiv -\dfrac{\pi}{2} \,\therefore\, &1\cdot ( \cos\,(-\frac{\pi}{2}+i\,\sin\,(-\frac{\pi}{2})=-i\end{matrix}\right.$$

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Comprobación. La potencia de cada uno de los valores obtenidos, con exponente igual al índice del radical, ha de ser igual al argumento del mismo, que es $1$. En efecto:

• $1^4=1$
• $i^4=1^2\cdot i^2=(-1)\cdot (-1)=1$
• $(-1)^4=1$
• $(-i)^4=((-1)\,i)^4=(-1)^4\cdot i^4=1\cdot 1=1$

Radicación de números complejos

Siendo $z\in \mathbb{C}$, nos proponemos resolver la ecuación $$z^3=1+i$$

Es evidente que $z=\sqrt[3]{1+i}$. Sabemos, que la raíz $n$-ésima de un número complejo, como es $w=1+i$, tiene $n$ soluciones: $\sqrt[n]{|w|}\cdot e^{i\dfrac{\text{arg}(w)+2\pi\,k}{n}}\,;k=0,1,2, \ldots,n-1$, donde $\text{arg}(w)$ representa el valor principal (o primer valor) del argumento de $w$, siendo $0\le \text{arg}(w) \lt 2\pi$, si bien también puede optarse por elegir otro intervalo de la misma longitud, $2\,\pi$, tal como $-\pi \lt \text{arg}(z)\le \pi$.

En este caso, pues, $w=1+1\cdot i$, siendo $|w|=\sqrt{(\mathcal{Re}(w))^2+\mathcal{Im}(w))^2}\overset{\mathcal{Re}(w)=1\;\;\mathcal{Im}(w)=1}{=}\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$. En cuanto a $\text{Arg}(w)$ (argumento de $w$), tenemos que su valor principal es $\text{arg}(w)=\text{arcsen}\,\left(\dfrac{\mathcal{Im}(w)}{|w|}\right)$, y, en nuestro caso, $\text{arg}(w)=\text{arcsen}\,\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\dfrac{\pi}{4}$, pues hay que tener en cuenta, además, que el afijo del $w$ en el plano de Argand se encuentra en el primer cuadrante, pues tanto la parte real como la imaginaria son cantidades positivas, por tanto estará entre $0$ y $\pi/2$ radianes.

Entonces, como $n=3$ (índice del radical), existen tres raíces: $$\left\{\begin{matrix} z_0=\sqrt[3]{\sqrt{2}} \cdot e^{i\,\frac{\pi/4+2\pi\cdot 0}{3}}=\sqrt[6]{2}\cdot e^{i\,\frac{\pi/4}{3}}=\sqrt[6]{2}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{12}} \\ z_1=\sqrt[3]{\sqrt{2}} \cdot e^{i\,\frac{\pi/4+2\pi\cdot 1}{3}}=\sqrt[6]{2}\cdot e^{i\,\frac{9\,\pi}{12}} \\ \\ z_2=\sqrt[3]{\sqrt{2}} \cdot e^{i\,\frac{\pi/4+2\pi\cdot 2}{3}}=\sqrt[6]{2}\cdot e^{i\,\frac{17\,\pi}{12}} \end{matrix}\right.$$

-oOo- Comprobación:

• $(z_0)^3\overset{?}{=}1+i$; en efecto, $(z_0)^3=\left(\sqrt[6]{2}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{12}}\right)^3=\left(\sqrt[6]{2}\right)^3\cdot\left(e^{i\,\frac{\pi}{12}}\right)^3=\sqrt{2}\cdot e^{i\,\frac{3\,\pi}{12}}=\sqrt{2}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}= \sqrt{2}\cdot \left( \cos\,(\frac{\pi}{4}) + i\,\sin\,(\frac{\pi}{4} ) \right) =$
  $=\sqrt{2}\cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + i\,\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 1+i $
• $(z_1)^3\overset{?}{=}1+i$; así es: $(z_{1}^3=\left(\sqrt[6]{2}\cdot e^{i\,\frac{9\pi}{12}}\right)^3=\left(\sqrt[6]{2}\right)^3\cdot\left(e^{i\,\frac{9\pi}{12}}\right)^3=\sqrt{2}\cdot e^{i\,\frac{3\cdot 9\,\pi}{12}}=\sqrt{2}\cdot e^{i\,\frac{9\pi}{4}}=\sqrt{2}\cdot e^{i\,(2\,\pi+\frac{\pi}{4})}=$
  $\sqrt{2}\cdot e^{i\,2\,\pi}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}\cdot 1\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}\cdot \left( \cos\,(\frac{\pi}{4}) + i\,\sin\,(\frac{\pi}{4} ) \right) =\sqrt{2}\cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + i\,\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 1+i $
• $(z_{2})^3 \overset{?}{=}1+i$; también se cumple: $(z_{2})^3=\left(\sqrt[6]{2}\cdot e^{i\,\frac{17\pi}{12}}\right)^3=\left(\sqrt[6]{2}\right)^3\cdot\left(e^{i\,\frac{17\pi}{12}}\right)^3=\sqrt{2}\cdot e^{i\,\frac{3\cdot 17\,\pi}{12}}=\sqrt{2}\cdot e^{i\,\frac{17\pi}{4}}=\sqrt{2}\cdot e^{i\,(4\,\pi+\frac{\pi}{4})}=$
  $\sqrt{2}\cdot e^{i\,2\cdot 2\,\pi}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}\cdot 1\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}\cdot \left( \cos\,(\frac{\pi}{4}) + i\,\sin\,(\frac{\pi}{4} ) \right) =\sqrt{2}\cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + i\,\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 1+i $

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