Divisibilidad de polinomios de variable compleja

En este ejercicio voy a demostrar que el polinomio $P(x)=x^n\,\sin\,\alpha-\lambda^{n-1}\,x\,\sin\,(n\alpha)+\lambda^n\,\sin\,((n-1)\,\alpha)$ es divisible por el polinomio $Q(x)=x^2-2\,\lambda\,x\cos\,\alpha+\lambda^2$

Voy a empezar factorizando el polinomio $Q(x)$, y, para ello, tengo que calcular sus ráices: $Q(x)=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-2\,\lambda\,\cos\,\lambda) \pm \sqrt{4\,(-\lambda\,\cos\,\alpha)^2-4\,\lambda^2}}{2}=\lambda\,(\cos\,\alpha \pm i\,\sin\,\alpha)$; por tanto, $Q(x)=(x-r_1)\,(x-r_2)$, donde $r_1=\lambda\,(\cos\,\alpha+i\,\sin\,\alpha)$ y $r_1=\lambda\,(\cos\,\alpha-i\,\sin\,\alpha)$

Entonces, para que $P(x)$ sea divisible (se un polinomio múltiplo de) $Q(x)$ es necesario que lo sea también por sus polinomios factores, $x-r_1$ y $x-r_2$; y, por el teorema del resto, deberá cumplirse que $P(r_1)=P(r_2)=0$. Y, en efecto, así es:

$P(r_1)=(\lambda\,(\cos\,\alpha+i\,\sin\,\alpha)^n\,\sin\,\alpha-\lambda^{n-1}\,(\lambda\,(\cos\,\alpha+i\,\sin\,\alpha))\,\sin\,(n\alpha)+\lambda^n\,\sin\,((n-1)\,\alpha)$
  $=\lambda^n\,(\cos\,(n\alpha)+i\,\sin(n\alpha))\sin\,\alpha-\lambda^{n-1}\,(\lambda\,(\cos\,\alpha+i\,\sin\,\alpha))\,\sin\,(n\alpha)+\lambda^n\,\sin\,((n-1)\,\alpha)$
    $\because \text{por la fórmula de Moivre aplicada al primer sumando}$
    $=\lambda^n\,\left(\cos\,(n\alpha)\,\sin\,\alpha-\cos\,\alpha\,\sin\,(n\alpha)\right)+\lambda^n\,\sin\,((n-1)\,\alpha)$
      $=\lambda^n\,\left(\cos\,(n\alpha)\,\sin\,\alpha-\cos\,\alpha\,\sin\,(n\alpha)\right)+\lambda^n\,\sin\,(n\alpha-\alpha)$
        $=\lambda^n\,\left(\cos\,(n\alpha)\,\sin\,\alpha-\cos\,\alpha\,\sin\,(n\alpha)\right)+\lambda^n\,\left( \sin\,(n\alpha)\,\cos\,\alpha - \cos\,(n\alpha)\,\sin\,\alpha \right)$
          $=\lambda^n\, \left( \cos\,(n\alpha)\,\sin\,\alpha-\cos\,\alpha\,\sin\,(n\alpha) + \sin\,(n\alpha)\,\cos\,\alpha - \cos\,(n\alpha)\,\sin\,\alpha \right)$
            $=\lambda^n\, \left( (\cos\,(n\alpha)\,\sin\,\alpha - \cos\,(n\alpha)\,\sin\,\alpha) + (\cos\,\alpha\, \sin\,(n\alpha) -\cos\,\alpha\,\sin\,(n\alpha)) \right)$
              $=\lambda^n\, \left( 0 + 0 \right)$
                $=0$

$P(r_2)=(\lambda\,(\cos\,\alpha-i\,\sin\,\alpha)^n\,\sin\,\alpha-\lambda^{n-1}\,(\lambda\,(\cos\,\alpha-i\,\sin\,\alpha))\,\sin\,(n\alpha)+\lambda^n\,\sin\,((n-1)\,\alpha)$
  $=\lambda^n\,(\cos\,(n\alpha)-i\,\sin(n\alpha))\sin\,\alpha-\lambda^{n-1}\,(\lambda\,(\cos\,\alpha-i\,\sin\,\alpha))\,\sin\,(n\alpha)+\lambda^n\,\sin\,((n-1)\,\alpha)$
    $\because \text{por la fórmula de Moivre aplicada al primer sumando}$
    $=\lambda^n\,\left(\cos\,(n\alpha)\,\sin\,\alpha-\cos\,\alpha\,\sin\,(n\alpha)\right)+\lambda^n\,\sin\,((n-1)\,\alpha)$
      $=\lambda^n\,\left(\cos\,(n\alpha)\,\sin\,\alpha-\cos\,\alpha\,\sin\,(n\alpha)\right)+\lambda^n\,\sin\,(n\alpha-\alpha)$
        $=\lambda^n\,\left(\cos\,(n\alpha)\,\sin\,\alpha-\cos\,\alpha\,\sin\,(n\alpha)\right)+\lambda^n\,\left( \sin\,(n\alpha)\,\cos\,\alpha - \cos\,(n\alpha)\,\sin\,\alpha \right)$
          $=\lambda^n\, \left( \cos\,(n\alpha)\,\sin\,\alpha-\cos\,\alpha\,\sin\,(n\alpha) + \sin\,(n\alpha)\,\cos\,\alpha - \cos\,(n\alpha)\,\sin\,\alpha \right)$
            $=\lambda^n\, \left( (\cos\,(n\alpha)\,\sin\,\alpha - \cos\,(n\alpha)\,\sin\,\alpha) + (\cos\,\alpha\, \sin\,(n\alpha) -\cos\,\alpha\,\sin\,(n\alpha)) \right)$
              $=\lambda^n\, \left( 0 + 0 \right)$
                $=0$
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Radicación de números complejos

Siendo $z\in \mathbb{C}$, nos proponemos resolver la ecuación $$z^3=1+i$$

Es evidente que $z=\sqrt[3]{1+i}$. Sabemos, que la raíz $n$-ésima de un número complejo, como es $w=1+i$, tiene $n$ soluciones: $\sqrt[n]{|w|}\cdot e^{i\dfrac{\text{arg}(w)+2\pi\,k}{n}}\,;k=0,1,2, \ldots,n-1$, donde $\text{arg}(w)$ representa el valor principal (o primer valor) del argumento de $w$, siendo $0\le \text{arg}(w) \lt 2\pi$, si bien también puede optarse por elegir otro intervalo de la misma longitud, $2\,\pi$, tal como $-\pi \lt \text{arg}(z)\le \pi$.

En este caso, pues, $w=1+1\cdot i$, siendo $|w|=\sqrt{(\mathcal{Re}(w))^2+\mathcal{Im}(w))^2}\overset{\mathcal{Re}(w)=1\;\;\mathcal{Im}(w)=1}{=}\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$. En cuanto a $\text{Arg}(w)$ (argumento de $w$), tenemos que su valor principal es $\text{arg}(w)=\text{arcsen}\,\left(\dfrac{\mathcal{Im}(w)}{|w|}\right)$, y, en nuestro caso, $\text{arg}(w)=\text{arcsen}\,\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\dfrac{\pi}{4}$, pues hay que tener en cuenta, además, que el afijo del $w$ en el plano de Argand se encuentra en el primer cuadrante, pues tanto la parte real como la imaginaria son cantidades positivas, por tanto estará entre $0$ y $\pi/2$ radianes.

Entonces, como $n=3$ (índice del radical), existen tres raíces: $$\left\{\begin{matrix} z_0=\sqrt[3]{\sqrt{2}} \cdot e^{i\,\frac{\pi/4+2\pi\cdot 0}{3}}=\sqrt[6]{2}\cdot e^{i\,\frac{\pi/4}{3}}=\sqrt[6]{2}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{12}} \\ z_1=\sqrt[3]{\sqrt{2}} \cdot e^{i\,\frac{\pi/4+2\pi\cdot 1}{3}}=\sqrt[6]{2}\cdot e^{i\,\frac{9\,\pi}{12}} \\ \\ z_2=\sqrt[3]{\sqrt{2}} \cdot e^{i\,\frac{\pi/4+2\pi\cdot 2}{3}}=\sqrt[6]{2}\cdot e^{i\,\frac{17\,\pi}{12}} \end{matrix}\right.$$

-oOo- Comprobación:

• $(z_0)^3\overset{?}{=}1+i$; en efecto, $(z_0)^3=\left(\sqrt[6]{2}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{12}}\right)^3=\left(\sqrt[6]{2}\right)^3\cdot\left(e^{i\,\frac{\pi}{12}}\right)^3=\sqrt{2}\cdot e^{i\,\frac{3\,\pi}{12}}=\sqrt{2}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}= \sqrt{2}\cdot \left( \cos\,(\frac{\pi}{4}) + i\,\sin\,(\frac{\pi}{4} ) \right) =$
  $=\sqrt{2}\cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + i\,\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 1+i $
• $(z_1)^3\overset{?}{=}1+i$; así es: $(z_{1}^3=\left(\sqrt[6]{2}\cdot e^{i\,\frac{9\pi}{12}}\right)^3=\left(\sqrt[6]{2}\right)^3\cdot\left(e^{i\,\frac{9\pi}{12}}\right)^3=\sqrt{2}\cdot e^{i\,\frac{3\cdot 9\,\pi}{12}}=\sqrt{2}\cdot e^{i\,\frac{9\pi}{4}}=\sqrt{2}\cdot e^{i\,(2\,\pi+\frac{\pi}{4})}=$
  $\sqrt{2}\cdot e^{i\,2\,\pi}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}\cdot 1\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}\cdot \left( \cos\,(\frac{\pi}{4}) + i\,\sin\,(\frac{\pi}{4} ) \right) =\sqrt{2}\cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + i\,\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 1+i $
• $(z_{2})^3 \overset{?}{=}1+i$; también se cumple: $(z_{2})^3=\left(\sqrt[6]{2}\cdot e^{i\,\frac{17\pi}{12}}\right)^3=\left(\sqrt[6]{2}\right)^3\cdot\left(e^{i\,\frac{17\pi}{12}}\right)^3=\sqrt{2}\cdot e^{i\,\frac{3\cdot 17\,\pi}{12}}=\sqrt{2}\cdot e^{i\,\frac{17\pi}{4}}=\sqrt{2}\cdot e^{i\,(4\,\pi+\frac{\pi}{4})}=$
  $\sqrt{2}\cdot e^{i\,2\cdot 2\,\pi}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}\cdot 1\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}\cdot \left( \cos\,(\frac{\pi}{4}) + i\,\sin\,(\frac{\pi}{4} ) \right) =\sqrt{2}\cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + i\,\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 1+i $

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