Radicación de números complejos

Voy a calcular, como ejercicio, los valores de $\sqrt[4]{1}$ en el conjunto de los números complejos:

Sé que, siendo $z\in \mathbb{C}$, entonces existen $n$ valores (en $\mathbb{C}$) como resultado: $\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}\cdot \left( \cos\,\left(\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}\right)+i\,\sin\,\left(\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}\right) \right)$, con $k=0,1,2,\ldots,n-1$, donde $\varphi$ es el primer argumento de $z$. En este caso, como $z=1=1+i\,0$, se tiene que $|z|=1$ y $\varphi=\text{arctan}\,(\frac{0}{1})=\text{arctan}\,0=0$, con lo cual:

$$\sqrt[4]{1}=\left\{\begin{matrix}\text{para}\,k=0,\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}=\dfrac{0+0\cdot 2\pi}{4}=0\,\therefore\, &1\cdot ( \cos\,0+i\,\sin\,0)=1 \\ \text{para}\,k=1,\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}=\dfrac{0+1\cdot 2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\,\therefore\, &1\cdot ( \cos\,\frac{\pi}{2}+i\,\sin\,\frac{\pi}{2})=i \\ \text{para}\,k=2,\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}=\dfrac{0+2\cdot 2\pi}{4}=\pi\,\therefore\, &1\cdot ( \cos\,\pi+i\,\sin\,\pi)=-1 \\ \text{para}\,k=3,\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}=\dfrac{0+3\cdot 2\pi}{4}=\dfrac{3}{2}\,\pi \equiv -\dfrac{\pi}{2} \,\therefore\, &1\cdot ( \cos\,(-\frac{\pi}{2}+i\,\sin\,(-\frac{\pi}{2})=-i\end{matrix}\right.$$

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Comprobación. La potencia de cada uno de los valores obtenidos, con exponente igual al índice del radical, ha de ser igual al argumento del mismo, que es $1$. En efecto:

• $1^4=1$
• $i^4=1^2\cdot i^2=(-1)\cdot (-1)=1$
• $(-1)^4=1$
• $(-i)^4=((-1)\,i)^4=(-1)^4\cdot i^4=1\cdot 1=1$