Potenciación de números complejos

En este ejercicio voy a desarrollar la expresión $$\left(\dfrac{1-i}{1+i}\right)^8$$.

Para ello, expresaré el numerador y el denominador de la base de la potencia en forma exponencial (fórmula de Euler):
  $\displaystyle 1-i=|1-i|\cdot e^{i\cdot \text{arctan}(-1)}=\sqrt{2}\,e^{-\frac{\pi}{4}}$
  $\displaystyle 1+i=|1+i|\cdot e^{i\cdot \text{arctan}(1)}=\sqrt{2}\,e^{\frac{\pi}{4}}$
con lo cual, la base de la potencia queda:
  $\left(\dfrac{1-i}{1+i}\right)=\dfrac{\sqrt{2}\,e^{-\frac{\pi}{4}}}{\sqrt{2}\,e^{\frac{\pi}{4}}}=e^{-\frac{2\cdot\pi}{4}}=e^{-\frac{\pi}{2}}$ y por tanto,
  $\left(\dfrac{1-i}{1+i}\right)^8=\left( e^{-\frac{\pi}{2}} \right)^8=e^{-\frac{8\cdot\pi}{2}}=e^{-4\pi}=\cos\,(-4\pi)+i\,\sin\,(-4\pi)=\cos\,(4\pi)-i\,\sin\,(4\pi)=$
    $=\cos\,(2\cdot 2\pi)-i\,\sin\,(2\cdot 2\pi)=1+0\,i=1$ $\diamond$