Un ejercicio para expresar en forma exponencial un número complejo dado en forma algebraica

En este ejercicio me propongo expresar el número complejo $z=-1-\sqrt{3}\,i$ (escrito en forma algebraica) en la forma exponencial.

Necesito calcular el módulo ($|z|$ o $\rho$) y el primer valor del argumento (o argumento principal), pues en la forma exponencial un número complejo se escribe de la forma $\displaystyle z=\rho \cdot e^{i\varphi}$. Entonces, $\rho=\sqrt{(\mathcal{Im}(z))^2+(\mathcal{Re}(z))^2}=\sqrt{(-1)^2+(-\sqrt{3})^2}=2$. Calculo ahora el primer valor del argumento de $z$: $\text{arg}(z)$ (o $\varphi$), de manera que $-\pi \lt \varphi \le \pi$. Como $\mathcal{Im}(z)=-\sqrt{3}\lt 0$ y $\mathcal{Re}(z)=-1\lt 0$, el afijo de $z$, está en el tercer cuadrante (diagrama de Argand), con lo cual $\varphi=\text{arctan}\,(\frac{-\sqrt{3}}{-1})-\pi=-\dfrac{2\,\pi}{3}$, con lo cual

$$z= \displaystyle 2 \cdot e^{-i\,\dfrac{2\,\pi}{3}}$$ $\diamond$