Relación entre las funciones seno y seno hiperbólico

Siendo $z\in \mathbb{C}$, recordemos que la función seno se puede escribir de la forma $\sin\,(z)\overset{(1)}{=}\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$ y la función seno hiperbólico, que se define de la forma $\sinh\,(z):=\dfrac{e^z-e^{-z}}{2}$, se puede demostrar fácilmente que $\sin\,(z)=-i\,\sinh\,(iz)$ y que $\sinh\,(z)=-i\,\sin\,(iz)$. En efecto:

$\sin\,(z)=\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\cdot \dfrac{i}{i}=i\cdot \dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{-2}=-i\cdot \left(\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2}\right) \quad (1)$, pero el segundo factor (entre los paréntesis) es justamente la definición del seno hiperbólico, no de $z$, sino de $iz$, esto es, $\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2}=\sinh\,(iz)$; por consiguiente, de $(1)$ se se sigue que, como se pedía, $$\sin\,(z) = -i\,\sinh\,(iz)$$

De ahí se sigue también que, de la igualdad anterior, cambiando $z$ por $iz$:
  $\sin\,(z) = -i\,\sinh\,(iz)$
    $\sin\,(iz) = -i\,\sinh\,(i\cdot (iz)$
      $\sin\,(iz) = -i\,\sinh\,(i^2\,z)$
        $\sin\,(iz) = -i\,\sinh\,(-z)$
          $\sin\,(iz) = -i\cdot (-\sinh\,(z))$
            $\sin\,(iz) = i\cdot \sinh\,(z)$
              $i\,\sin\,(iz) = i\cdot i\, \sinh\,(z)$
                $i\,\sin\,(iz) = i^2\, \sinh\,(z)$
                  $i\,\sin\,(iz) = -\sinh\,(z)$
                    $\sinh\,(z)=-i\,\sin\,(iz)$
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Nota 1:
De acuerdo con la fórmula de Euler, $e^{iz}=\cos\,(z)+ i\,\sin(z) \quad (2)$, luego $e^{-iz}=e^{i\,(-z)}\cos\,(-z)+ i\,\sin(-z) = \cos\,(z) + i\,(-\sin(z)) = \cos\,(z)-i\,\sin\,(z) \quad (3)$. Restando, miembro a miembro, $(3)$ de $(2)$, se obtiene $e^{iz}-e^{-iz}=2i\,\sin\,(z)$, con lo cual $\sin\,(z)=\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$

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