Relación entre las funciones coseno y coseno hiperbólico

Siendo $z\in \mathbb{C}$, recordemos que la función coseno se puede escribir de la forma $\cos\,(z)\overset{(1)}{=}\dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$ y la función coseno hiperbólico, que se define de la forma $\cosh\,(z):=\dfrac{e^z+e^{-z}}{2} \quad (1)$, se puede demostrar fácilmente que $\cos\,(iz)=\cosh\,(z)$ y $\cos\,(z)=\cosh\,(iz)$. En efecto:

$\cos\,(z)=\dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$ y cambiando el argumento $z$ por $iz$ en ambos miembros de la igualdad podemos escribir $\cos\,(iz)=\dfrac{e^{i\,(iz)}+e^{-i\,(iz)}}{2}=\dfrac{e^{i^2\,z}+e^{-i^2\,z}}{2}=\dfrac{e^{(-1)\cdot z}+e^{-(-1)\,z}}{2}=\dfrac{e^{-z}+e^{z}}{2}=\dfrac{e^{z}+e^{-z}}{2}=:\cosh\,(z)$. De ahí se sigue también que $\cos\,(z)=\cosh\,(iz)$

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Nota 1:
De acuerdo con la fórmula de Euler, $e^{iz}=\cos\,(z)+ i\,\sin(z) \quad (2)$, luego $e^{-iz}=e^{i\,(-z)}\cos\,(-z)+ i\,\sin(-z) = \cos\,(z) + i\,(-\sin(z)) = \cos\,(z)-i\,\sin\,(z) \quad (3)$. Sumando, miembro a miembro, $(3)$ y $(2)$, se obtiene $e^{iz}+e^{-iz}=2\,\cos\,(z)$, con lo cual $\cos\,(z)=\dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$

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