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domingo, 24 de marzo de 2024

Módulo y primer argumento de un número complejo. Algunos ejercicios

Voy a hallar el módulo, |z| y el valor principal del argumento, \text{arg}\,z o \varphi) (recordemos que -\pi \lt \text{arg}\,z \le \pi) de los siguientes números complejos:
a) z=4+3i; b) z=-2+2\sqrt{3}\,i; c) z=-7-i; d) z=-\cos\,\dfrac{\pi}{5}+i\,\sin\,\dfrac{\pi}{5}; e) z=4-3\,i; f) z=\cos\,\alpha-i\,\sin\,\alpha; \pi \lt \alpha \lt \dfrac{3}{2}\,\pi

  • (a) |z|=\sqrt{4^2+3^2}=5; \varphi=\text{arctan}\,\dfrac{3}{4}. Nota: El afijo de z está en el primer cuadrante, ya que \mathcal{Im}\,z=3 \gt 0 y \mathcal{Re}\,z=4 \gt 0.
  • (b) |z|=\sqrt{(-2)^2+(2\,\sqrt{3})^2}=4; \varphi=\text{arctan}\,\dfrac{2\,\sqrt{3}}{-2}=\dfrac{2}{3}\,\pi. Nota: El afijo de z está en el seguno cuadrante, ya que \mathcal{Im}\,z=2\,\sqrt{3} \gt 0 y \mathcal{Re}\,z=-2 \lt 0.
  • (c) |z|=\sqrt{(-7)^2+(-1)^2}=2\,\sqrt{5}; \varphi=\text{arctan}\,\dfrac{1}{7}-\pi. Nota: El afijo de z está en el tercer cuadrante, ya que \mathcal{Im}\,z=-1 \lt 0 y \mathcal{Re}\,z=-7 \lt 0.
  • (d) |z|=\sqrt{(-\cos\,\dfrac{\pi}{5})^2+(\sin\,\dfrac{\pi}{5})^2}=1; \varphi=\text{arctan}\,\left(\dfrac{\sin\,\frac{\pi}{5}}{-\cos\,\frac{\pi}{5}}\right)=\text{arctan}\,\left(-\tan\,(\frac{\pi}{5})\right)=-\frac{\pi}{5}+\pi=\frac{4}{5}\,\pi. Nota: El afijo de z está en el segundo cuadrante, ya que \mathcal{Im}\,z=\sin\,\frac{\pi}{5} \gt 0 y \mathcal{Re}\,z=-\cos\,\frac{\pi}{5} \lt 0.
  • (e) |z|=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5; \varphi=\text{arctan}\,\dfrac{-3}{4}=-\text{arctan}\,\dfrac{3}{4}. Nota: El afijo de z está en el cuarto cuadrante, ya que \mathcal{Im}\,z=-3 \lt 0 y \mathcal{Re}\,z=4 \gt 0.
  • (f) |z|=\sqrt{(\cos\,\alpha)^2+(-\sin\,\alpha)^2}=1; \varphi=\text{arctan}\,\left(\dfrac{-\sin\,\alpha}{\cos\,\alpha}\right)=\text{arctan}\,(-\tan\,\alpha)=-\alpha, y, en consecuencia: \varphi=2\,\pi-\alpha, que pertenece al cuarto cuadrante, pues \alpha pertenece al tercer cuadrante. En efecto, como \sin\,\alpha \lt 0, se tiene que -\sin\,\alpha \gt 0, y, al ser \cos\,\alpha \lt 0, entonces -\tan\,\alpha \lt 0, luego \varphi pertenece o bien al segundo cuadrante o bien al cuarto cuadrante, que es nuestro caso. \diamond

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