Módulo y primer argumento de un número complejo. Algunos ejercicios

Voy a hallar el módulo, $|z|$ y el valor principal del argumento, $\text{arg}\,z$ o $\varphi$) (recordemos que $-\pi \lt \text{arg}\,z \le \pi$) de los siguientes números complejos:
a) $z=4+3i$; b) $z=-2+2\sqrt{3}\,i$; c) $z=-7-i$; d) $z=-\cos\,\dfrac{\pi}{5}+i\,\sin\,\dfrac{\pi}{5}$; e) $z=4-3\,i$; f) $z=\cos\,\alpha-i\,\sin\,\alpha$; $\pi \lt \alpha \lt \dfrac{3}{2}\,\pi$

• (a) $|z|=\sqrt{4^2+3^2}=5$; $\varphi=\text{arctan}\,\dfrac{3}{4}$. Nota: El afijo de $z$ está en el primer cuadrante, ya que $\mathcal{Im}\,z=3 \gt 0$ y $\mathcal{Re}\,z=4 \gt 0$.
• (b) $|z|=\sqrt{(-2)^2+(2\,\sqrt{3})^2}=4$; $\varphi=\text{arctan}\,\dfrac{2\,\sqrt{3}}{-2}=\dfrac{2}{3}\,\pi$. Nota: El afijo de $z$ está en el seguno cuadrante, ya que $\mathcal{Im}\,z=2\,\sqrt{3} \gt 0$ y $\mathcal{Re}\,z=-2 \lt 0$.
• (c) $|z|=\sqrt{(-7)^2+(-1)^2}=2\,\sqrt{5}$; $\varphi=\text{arctan}\,\dfrac{1}{7}-\pi$. Nota: El afijo de $z$ está en el tercer cuadrante, ya que $\mathcal{Im}\,z=-1 \lt 0$ y $\mathcal{Re}\,z=-7 \lt 0$.
• (d) $|z|=\sqrt{(-\cos\,\dfrac{\pi}{5})^2+(\sin\,\dfrac{\pi}{5})^2}=1$; $\varphi=\text{arctan}\,\left(\dfrac{\sin\,\frac{\pi}{5}}{-\cos\,\frac{\pi}{5}}\right)=\text{arctan}\,\left(-\tan\,(\frac{\pi}{5})\right)=-\frac{\pi}{5}+\pi=\frac{4}{5}\,\pi$. Nota: El afijo de $z$ está en el segundo cuadrante, ya que $\mathcal{Im}\,z=\sin\,\frac{\pi}{5} \gt 0$ y $\mathcal{Re}\,z=-\cos\,\frac{\pi}{5} \lt 0$.
• (e) $|z|=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5$; $\varphi=\text{arctan}\,\dfrac{-3}{4}=-\text{arctan}\,\dfrac{3}{4}$. Nota: El afijo de $z$ está en el cuarto cuadrante, ya que $\mathcal{Im}\,z=-3 \lt 0$ y $\mathcal{Re}\,z=4 \gt 0$.
• (f) $|z|=\sqrt{(\cos\,\alpha)^2+(-\sin\,\alpha)^2}=1$; $\varphi=\text{arctan}\,\left(\dfrac{-\sin\,\alpha}{\cos\,\alpha}\right)=\text{arctan}\,(-\tan\,\alpha)=-\alpha$, y, en consecuencia: $\varphi=2\,\pi-\alpha$, que pertenece al cuarto cuadrante, pues $\alpha$ pertenece al tercer cuadrante. En efecto, como $\sin\,\alpha \lt 0$, se tiene que $-\sin\,\alpha \gt 0$, y, al ser $\cos\,\alpha \lt 0$, entonces $-\tan\,\alpha \lt 0$, luego $\varphi$ pertenece o bien al segundo cuadrante o bien al cuarto cuadrante, que es nuestro caso. $\diamond$