Forma trigonométrica de un número complejo

Voy a escribir el número complejo $z=1-\sqrt{3}\,i$ (escrito en forma algebraica) en la forma trigonométrica:

Necesito calcular el módulo y el primer valor del argumento (o argumento principal): $|z|=\sqrt{(\mathcal{Im}(z))^2+(\mathcal{Re}(z))^2}=\sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2}=2$. Calculo ahora el primer valor del argumento de $z$: $\text{arg}(z)$ (o $\varphi$), de manera que $-\pi \lt \varphi \le \pi$. Como $\mathcal{Im}(z)=-\sqrt{3}\lt 0$ y $\mathcal{Re}(z)=1\gt 0$, el afijo de $z$, está en el cuarto cuadrante en el diagrama de Argand, con lo cual $\varphi=\text{arctan}\,(-\frac{\sqrt{3}}{1})=-\dfrac{\pi}{3}$, en consecuencia $z=|z|\cdot \left( cos\,(\varphi)+i\,\sin\,(\varphi) \right)=2\cdot (\dfrac{1}{2}-i\,\dfrac{\sqrt{3}}{2})$. Obsérvese que si deshacemos el paréntesis se obtiene otra vez la expresión algebraica de $z$. $\diamond$