Me propongo escribir el número complejo (dado en forma algebraica) $z=1-sin\,\alpha+ i\,\cos\,\alpha$, siendo $0\lt \alpha\lt \dfrac{\pi}{2}$ en la forma trigonométrica: $z=\rho\,(\cos\,\varphi + i\,\sin\,\varphi)$
Necesito calcular el módulo y el primer valor del argumento (o argumento principal): $\rho=|z|=\sqrt{(\mathcal{Im}(z))^2+(\mathcal{Re}(z))^2}=\sqrt{(1-\sin\,\alpha)^2+(\cos\,\alpha)^2}=\sqrt{2\,(1-\sin\,\alpha)}$. Calculo ahora el primer valor del argumento de $z$:
$\text{arg}(z)=\varphi$, conviniendo que $-\pi \lt \varphi \le \pi$. Como $\mathcal{Im}(z)=1-\sin\,\alpha \gt 0$ y $\mathcal{Re}(z)=\cos\,\alpha \gt 0$, el afijo de $z$, está en el primer cuadrante del plano de Argand. Sabemos que
$\varphi:= \text{arctan}\,\left( \dfrac{\mathcal{Im}\,z}{\mathcal{Re}\,z}\right)=\text{arctan}\,\left( \dfrac{\cos\,\alpha}{1-\sin\,\alpha}\right) \Rightarrow \tan\,\varphi=\dfrac{\cos\,\alpha}{1-\sin\,\alpha}$; y, haciendo uso de las identidades trigonométricas y algebraicas: $\dfrac{\cos\,\alpha}{1-\sin\,\alpha}=\dfrac{\sqrt{1-\sin^2\,\alpha}}{1-\sin\,\alpha}=\dfrac{\sqrt{(1-\sin\,\alpha)(1+\sin\,\alpha)}}{1-\sin\,\alpha}=
\sqrt{ \dfrac{(1-\sin\,\alpha)(1+\sin\,\alpha)}{(1-\sin\,\alpha)^2}}=$
$=\sqrt{ \dfrac{1-\sin\,\alpha}{1-\sin\,\alpha}\cdot \dfrac{1+\sin\,\alpha}{1-\sin\,\alpha}}=\sqrt{\dfrac{1+\sin\,\alpha}{1-\sin\,\alpha}}=\sqrt{\dfrac{1+\cos\,(\alpha-\frac{\pi}{2})}{1-\cos\,(\alpha-\frac{\pi}{2})}}\overset{\text{(1)}}{=}-\dfrac{1}{\tan\,\left( \dfrac{\alpha-\frac{\pi}{2}}{2} \right)} \because \dfrac{\alpha-\frac{\pi}{2}}{2}$ es un ángulo del cuarto cuadrante; por lo tanto, $\tan\,\varphi \cdot \tan\, \left( \dfrac{\alpha-\frac{\pi}{2}}{2} \right)=-1$. Por otra parte, sabemos que, denotando $A:=\varphi$ y $B:=\dfrac{\alpha-\frac{\pi}{2}}{2}$, $\tan\,(A-B)\overset{\text{(2)}}{=}\dfrac{\tan\,A-\tan\,B}{1+\tan\,A \cdot \tan\,B}$; y teniendo en cuenta que $\tan\,A \cdot \tan\,B=-1$, el denominador de la fórmula de la tangente de la diferencia de ángulos se anula: $1+\tan\,A \cdot \tan\,B=0$, con lo cual $\tan\,(A-B)=\pm\,\infty$, pero, para ello, como $\tan\,(A-B):=\dfrac{\sin\,(A-B)}{\cos\,(A-B)}$, debe cumplirse que $\cos\,(A-B)=0$, y por tanto, $A-B=\dfrac{\pi}{2}$, esto es $\varphi-\dfrac{\alpha-\frac{\pi}{2}}{2}=\dfrac{\pi}{2} \Leftrightarrow \varphi-\dfrac{\alpha-\frac{\pi}{2}}{2}=\dfrac{\pi}{2}$, de lo cual se desprende que $\varphi=\dfrac{\alpha}{2}+\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\alpha}{2}+\dfrac{\pi}{4}$. Por consiguiente, $$1-\sin\,\alpha+ i\,\cos\,\alpha= \sqrt{2\,(1-\sin\,\alpha)}\cdot \left( \cos\,(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{4})+i\,\sin\,(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{4}) \right)$$
Aclaraciones:
- Spiegel, M.; L. Abellanas, Fórmulas y Tablas de Matemática Aplicada (5.43, p.20), Shaum, McGraw-Hill, Madrid, 1993
- Spiegel, M.; L. Abellanas, Fórmulas y Tablas de Matemática Aplicada (5.36, p.19), Shaum, McGraw-Hill, Madrid, 1993
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