Una progresión geométrica con las potencias sucesivas de la unidad imaginaria $i$

$\displaystyle \sum_{k=3}^{15}\,i^k=i^3\,\sum_{k=0}^{12}\,i^k\overset{\text {Nota (1)}}{=}-i\cdot \left( i^0\cdot \dfrac{i^{13}-1}{i-1} \right)\overset{\text{Nota (2)}:\;\; 13\equiv 1\,(\text{mod}\,4) \Rightarrow i^{13}=i^1}{=}-i\cdot \left( 1 \cdot \dfrac{i^1-1}{i-1} \right)=i^3=-i\cdot 1 = -i$

-oOo- Nota (1):   $\displaystyle \sum_{k=0}^{12}\,r^k$ corresponde a la suma de la progresión geométrica de $n=13$ términos, $a_1+a_2+\underset{\overbrace{13}}{\ldots}+a_{13}$, de razón $r=i$; $a_1=i^0=1$ y $a_{12}=i^{12}$, y como $S_{n}=a_1\cdot \dfrac{r^{n}-1}{r-1}$, se tiene que $S_{13}=1\cdot \dfrac{i^{13}-1}{i-1}$
Nota (2):  Hay que tener en cuenta la relación cíclica: $i^0=1$, $i^1=i$; $i^2=-1$; $i^3=-i$; $i^4=1$ ... luego se estable una aritmética modular de módulo $4$.

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