Relación entre las funciones tangente y tangente hiperbólica

En dos artículos precedentes [(1) y (2)] hemos visto la relación entre el seno y el seno hiperbólico, y entre el coseno y el coseno hiperbólico; ahora, justificaremos la relación entre la tangente y la tangente hiperbólica: $$\tan\,(z)=-i\,\tanh\,(iz)\quad \quad \tanh\,(z)=-i\,\tan\,(iz)$$ $$\tan\,(iz)=i\,\tanh\,(z)\quad \quad \tanh\,(iz)=i\,\tan\,(z)$$

Recordemos que:
  $\sin\,(z)=-i\,\sinh\,(iz)$
  $\sinh\,(z)=-i\,\sin\,(iz)$
  $\cos\,(z)=\cosh\,(iz)$
  $\cosh\,(z)=\cos\,(iz)$

Entonces, atendiendo a las definiciones de tangente y tangente hiperbólica:
  $\tan\,(z):=\dfrac{\sin\,(z)}{\cos\,(z)}=\dfrac{-i\,\sinh\,(iz)}{\cosh\,(iz)}=-i\,\dfrac{\sinh\,(iz)}{\cosh\,(iz)}=-i\,\tanh\,(iz)$
Cambiando $z$ por $iz$, y teniendo en cuenta que las funciones tangente son impares:
  $\tan\,(iz)=-i\,\tanh\,(i\,(iz))=-i\,\tanh\,(i^2\,z)=-i\,\tanh\,(-z)=-i\cdot (-\tanh\,(-z))=i\,\tanh\,(z)$

Por otra parte,
  $\tanh\,(z):=\dfrac{\sinh\,(z)}{\cosh\,(z)}=\dfrac{-i\,\sin\,(iz)}{\cos\,(iz)}=-i\,\dfrac{\sin\,(iz)}{\cos\,(iz)}=-i\,\tan\,(iz)$
Otra vez ahora con esta otra igualdad: cambiando $z$ por $iz$, y teniendo en cuenta que las funciones tangente son impares:
  $\tanh\,(iz)=-i\,\tan\,(i\,(iz))=-i\,\tan\,(i^2\,z)=-i\,\tan\,(-z)=-i\cdot (-\tan\,(-z))=i\,\tan\,(z)$

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