Queremos identificar la curva que, en el plano complejo, viene dada por $$\mathcal{Re}\left(\dfrac{1}{z}\right)=\dfrac{1}{9}$$
Siendo $z=x+i\,y$, escribamos $\dfrac{1}{z}$ de la siguiente manera:
$$\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{z}\cdot \dfrac{\bar{z}}{\bar{z}}=\dfrac{\bar{z}}{z\,\bar{z}}=\dfrac{x-i\,y}{x^2+y^2}=\dfrac{x}{x^2+y^2}-i\,\dfrac{y}{x^2+y^2}$$
con lo cual es claro que
$\mathcal{Re}\left(\dfrac{1}{z}\right)=\dfrac{x}{x^2+y^2}$
Entonces la curva pedida, puede escribirse de manera equivalente, en coordenadas cartesianas, y ya pensando en el plano euclídeo $\mathbb{R}^2$, como:
$$\dfrac{x}{x^2+y^2}=\dfrac{1}{9}$$
esto es,
$$x^2+y^2-9x=0$$
que corresponde claramente a una cúbica y, que, de manera equivalente, puede escribirse de la forma:
$$\left(x-\dfrac{9}{2}\right)^2+(y-0)^2=\left(\dfrac{9}{2}\right)^2$$
la cual identificamos como la ecuación de una circunferencia, de centro $C\left(\dfrac{9}{2},0\right)$ y radio igual a $\dfrac{9}{2}$
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