Vamos a calcular el logaritmo de un número complejo $z=a+ib$, donde $\mathcal{Re}(z)=a$ es la parte real, y $\mathcal{Im}(z)=b$ es la parte imaginaria, siendo $a,b\in \mathbb{R}$.
Para ello, nos conviene primero expresar el número complejo según la forma de Euler: $\displaystyle z=|z|\,e^{i\,\text{Arg}(z)}$, donde $\text{Arg}(z)=\text{arg}(z)+2k\pi$, con $k=0,1,2,\ldots$ (expresado en radianes), tomando el argumento principal, $\text{arg}(z)$, en el intervalo $0 \le \text{arg}(z) \lt 2\pi$, o en otro intervalo de longitud $2\,\pi$, como es $-\pi \lt \text{arg}(z) \le \pi$; y, como ya sabemos, $\text{arg}(z)=\text{arctan}\left(\dfrac{\mathcal{Im}(z)}{\mathcal{Re}(z)}\right)=\text{arctan}\,\left(\dfrac{b}{a}\right)$ por consiguiente: $$\text{Arg}(z)=\text{arctan}\,\left(\dfrac{b}{a}\right)+2k\pi;\,\mathbb{Z}\ni k=0,1,2,\ldots$$
Desde luego, el logaritmo pedido es un número complejo $\mathbb{C} \ni w\equiv \ln(z)=c+id$, con $c=\mathcal{Re}(w),d=\mathcal{Im}(w)$, y por supuesto $c,d\in \mathbb{R}$, por lo tanto, $w=\ln\left(|z|\,e^{i\,\text{arg}(z)}\right)=c+id$. Teniendo en cuenta que $\ln\,(e^{i\,\text{Arg}(z)})=i\,\text{Arg}(z)$, se tiene que $$\displaystyle \ln\,(z)=\ln\,|z|+i\,\left(\text{arctan}\left(\dfrac{b}{a}\right)+2k\pi\right);k=0,1,2,\ldots$$ Es decir, $c=|z|$ y $d=\text{arctan}\left(\dfrac{b}{a}\right)+2k\pi$, con $k=0,1,2,\ldots$.
Ejemplo. Sea $z=2+i$. Nos proponemos calcular $\ln\,z$. Pues bien, $\displaystyle z=\sqrt{5}\,e^{i\,\text{arg}(z)+2k\pi}$ siendo en este caso el argumento principal $0\lt \text{arg}(z)=\text{arctan}(1/2)\lt \pi/2$, ya que tanto la parte real como la parte imaginaria de $z$ son positivas (el afijo de dicho número se encuentra en el primer cuadrante). En consecuencia, $\ln\,z = c+ id$, con $c=\ln\,\sqrt{5}$ y $d=\text{arctan}(1/2)+2k\pi$, con $k=0,1,2,\ldots$, y vemos que, con ayuda de la calculadora, $\sqrt{5}\approx 0,8047$ y $\text{arctan}(1/2) \approx 0,4636\,\text{rad}$, luego el logaritmo pedido es $$\{\sqrt{5}+i\,\text{arctan}(1/2)\,,\,\sqrt{5}+i\,(\text{arctan}(1/2)+2\pi)\,,\,\sqrt{5}+i\,(\text{arctan}(1/2)+4\pi)\,,\,\sqrt{5}+i\,(\text{arctan}(1/2)+6\pi)\,,\,\ldots\}$$ $\diamond$
