Se pide que resolvamos la siguiente EDO: $$y'=2y+\dfrac{2}{3}$$
Observemos que se trata de una EDO lineal no homogénea, pues su forma se corresponde con la genérica de ese tipo: $y'+f(x)\,y=g(x)$, siendo en este caso concreto $f(y)=-2$ y $g(x)=\dfrac{2}{3}$
Procederemos de la siguiente manera:
Primero, buscaremos la solución de la e.d. homogénea $y'-2y=0$, que, fácilmente hallamos, y a la que denominaremos $y_H$:
$\dfrac{dy}{dx}-2y=0$
$\dfrac{dy}{y}=2\,dx$
$\displaystyle \int\,\dfrac{dy}{y}=\int\,2\,dx$
$\ln(y)=2\,x+\text{constante}$
Elegimos ahora la constante arbitraria como $\ln(C)$, luego podemos escribir:
$\ln(y)-\ln(C)=2\,x$
$\ln\left(\dfrac{y}{C}\right)=2\,x$, por lo que
$y_H=C\,e^{2\,x}$
En segundo lugar, buscaremos una solución particular, $y_P$, de la ecuación original, por el método de los coeficientes indeterminados: Como $g(x)=\dfrac{2}{3}$ es constante, esto es, un polinomio de grado $0$, postulamos que $y_P=k$ (constante). Así que, sustituyendo en la e.d. $y'=2y+\dfrac{2}{3}$, podremos determinar el valor del coeficiente $k$:
$y'_P=2\,y_P+\dfrac{2}{3}$
$0=2\cdot k +\dfrac{2}{3}$
$k = -\dfrac{1}{3}$
Por consiguiente, una solución particular es $y_P=-\dfrac{1}{3}$
Finalmente, sabemos que la solución general de la e.d. es $y=y_H+y_P$, es decir:
$$y=C\,e^{2x}-\dfrac{1}{3}$$
$\diamond$
