Consideremos una base no ortogonal de $\mathbb{R}^3$: $\mathcal{B}=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\}$. Para obtener una base ortogonal, $\mathcal{O}=\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}$ a partir de los vectores de $\mathcal{B}$ recurrimos a la siguiente propiedad: dados dos vectores cualesquiera, pongmamos que $\vec{v}_1$ y $\vec{v}_2$ la diferencia entre el vector $\vec{v}_2$ y el vector proyección de $\vec{v}_1$ sobre $\vec{v}_1$ es un vector perpendicular a $\vec{v}_1$. Por otra parte, para encontrar el tercer vector de la base ortogonal que buscamos, éste tendrá que ser perpendicular al plano al que pertenecen los dos primeros vectores de la base ortogonal que hayamos encontrado, por lo tanto aplicaremos la propiedad referida al tercer vector en relación al primero y también al segundo. Es proceso se conoce como ortogonalización de Gram-Schmidt.
Nota: Otra manera de obtener el tercer vector de la base ortogonal a partir de los dos primeros es a partir del producto vectorial de los dos primeros, pues este vector, como es sabido, es perpendicular al plano al que pertenecen los dos primeros, y por tanto es perpendicular a uno y otro.
Discribámoslo paso a paso:
- El primer $\mathcal{B}$ lo consideraremos el primer vector de $\mathcal{O}$ (si bien podemos tomar cualquiera de los otros dos): $\vec{e}_1:=\vec{v}_1$
- El segundo vector de $\mathcal{O}$ vendrá dado entonces por $$\vec{e}_2=\vec{v}_2-\overset{\rightarrow}{\text{proy}}_{\vec{e}_1}\,(\vec{v}_2)$$ luego
$\vec{e}_2=\vec{v}_2- \langle\vec{v_2}\,,\,\dfrac{\vec{e}_1}{\left\| \vec{e}_1\right\|}\rangle\,\dfrac{\vec{e}_1}{\left\|\vec{e}_1\right\|}$
$=\vec{v}_2- \langle\vec{v_2}\,,\,\vec{e}_1 \rangle\,\dfrac{\vec{e}_1}{\left\|\vec{e}_1\right\|^2}$
$=\vec{v}_2- \langle\vec{v_2}\,,\,\vec{e}_1 \rangle\,\dfrac{\vec{e}_1}{\langle\vec{e}_1\,,\,\vec{e}_1\rangle}$
$=\vec{v}_2- \dfrac{\langle\vec{v_2}\,,\,\vec{e}_1 \rangle}{\langle\vec{e_1}\,,\,\vec{e}_1 \rangle} \,\vec{e}_1$ - El tercer vector de $\mathcal{O}$ vendrá dado por $$\vec{e}_3=\vec{v}_3-\overset{\rightarrow}{\text{proy}}_{\vec{e}_1}\,(\vec{v}_3)-\overset{\rightarrow}{\text{proy}}_{\vec{e}_2}\,(\vec{v}_3)$$ luego
$$\vec{e}_3=\vec{v}_3- \dfrac{\langle\vec{v_3}\,,\,\vec{e}_1 \rangle}{\langle\vec{e_1}\,,\,\vec{e}_1 \rangle} \,\vec{e}_1-\dfrac{\langle\vec{v_3}\,,\,\vec{e}_2 \rangle}{\langle\vec{e_2}\,,\,\vec{e}_2 \rangle} \,\vec{e}_2$$
Ejemplo:
Consideremos la base no ortogonal formada por los vectores $\vec{v}_1=(1,1,1)$, $\vec{v}_2=(1,-1,1)$ y $\vec{v}_3=(-1,1,1)$. Entonces,
- $\vec{e}_1:=\vec{v}_1=(1,1,1)$
- $\vec{e}_2=(1,-1,1)-\dfrac{\langle (1,-1,1)\,,\,(1,1,1) \rangle}{\langle (1,1,1)\,,\,(1,1,1)\rangle}\,(1,1,1)=(1,-1,1)-\dfrac{1}{3}\,(1,1,1)=(\frac{2}{3},-\frac{4}{3},\frac{2}{3})$
- $\vec{e}_3=(-1,1,1)-\dfrac{\langle (-1,1,1)\,,\,(1,1,1) \rangle}{\langle (1,1,1)\,,\,(1,1,1)\rangle}\,(1,1,1)-\dfrac{\langle (-1,1,1)\,,\, (\frac{2}{3},-\frac{4}{3},\frac{2}{3}) \rangle}{\langle (\frac{2}{3},-\frac{4}{3},\frac{2}{3})\,,\,(\frac{2}{3},-\frac{4}{3},\frac{2}{3})\rangle}\,(\frac{2}{3},-\frac{4}{3},\frac{2}{3})$
$=(-1,0,1)$
Puede comprobarse que estos tres vectores son perpendiculares entre sí, verificando que los productos escalares de cada uno de ellos con los otros dos son nulos: $\langle (1,1,1)\,,\,(\frac{2}{3},-\frac{4}{3},\frac{2}{3})\rangle =0$,$\langle (1,1,1)\,,\,(-1,0,1)\rangle =0$ y $\langle (\frac{2}{3},-\frac{4}{3},\frac{2}{3})\,,\,(-1,0,1)\rangle =0$
Observación:
Para obtener una base ortonormal a partir de la base ortogonal que hemos encontrado, basta dividir cada uno de dichos vectores por el correspondiente módulo: $$\mathcal{E}=\{\dfrac{\vec{e}_1}{\sqrt{\langle \vec{e}_1\,,\,\vec{e}_1\rangle}}\,,\,
\dfrac{\vec{e}_2}{\sqrt{\langle \vec{e}_2\,,\,\vec{e}_e\rangle}}\,,\,\dfrac{\vec{e}_3}{\sqrt{\langle \vec{e}_3\,,\,\vec{e}_3\rangle}}\}$$
Así, para el ejemplo expuesto, $$\mathcal{E}=\{(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})\,,\,(\frac{4\,\sqrt{6}}{9},-\frac{8\,\sqrt{6}}{9},\frac{4\,\sqrt{6}}{9}) \,,\,(-\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}})\}$$
$\diamond$
