Acerca de la apuesta múltiple en el juego de la Lotería Primitiva

ENUNCIADO. La Lotería Primitiva es un juego de azar regulado por Loterías y Apuestas del Estado (LAE) que consiste en hacer apuestas, marcando por lo menos 6 números (diferentes) entre 1 y 49. En el sorteo, cada número de la 6-tupla premiada sólo puede salir una vez. Si se marcan más de $6$ números, realizamos múltiples apuestas. ¿ Cuántas apuestas corresponden a marcar $9$ números ? ¿ Cuál es la probabilidad de que marcando $8$ números acertemos exactamente $4$ números de la 6-tupla ganadora ? [ Instrucción: Realizar el cálculo sin tener en cuenta el número complementario ]

SOLUCIÓN. Como no importa el orden de aparición de los números que constituyen la 6-tupla ganadora, el número de apuestas pedido ( al marcar $9$ números ) es $C_{9,6}=\binom{9}{6}=84$ apuestas.

Procedemos ahora a responder a la segunda pregunta. Denotemos por $S$ al suceso pedido. El número de casos posibles es $N=\binom{49}{6}=13\,983\,816$. El número de casos favorables, $N(S)$, lo calculamos razonando como sigue: De entre los $8$ números marcados hay $\binom{8}{4}$ maneras de elegir cuatro números premiados y, por cada una de esas posibilidades, existen $\binom{49-8}{6-4}$ maneras de elegir los dos números no premiados entre los $49-8$ a los que no se ha apostado; luego, por el principio multiplicativo, $N(S)=\binom{8}{4}\cdot \binom{49-8}{6-4}=57\,400$. Entonces, por la regla de Laplace ( cada una de las $\binom{49}{6}$ posibles 6-tuplas es equiprobable ) $$P(S)=\dfrac{N(S)}{N}$$ llegamos a $$P(S)=\dfrac{\binom{8}{4}\cdot \binom{49-8}{6-4}}{\binom{49}{6}}\approx 4,1047\cdot 10^{-3}$$
$\square$