En este artículo voy a calcular las derivadas parciales de primer orden de la función $z=f(u,v)$, donde $u=\phi(x,y)$ y $v=\Phi(x,y)$, siendo $x$ e $y$ variables independientes
El problema es bien sencillo y la solución es inmediata: $$\dfrac{\partial\,z}{\partial\,x}=\dfrac{\partial\,f}{\partial\,u}\,\dfrac{\partial\,u}{\partial\,x}+\dfrac{\partial\,f}{\partial\,v}\,\dfrac{\partial\,v}{\partial\,x} \quad (1)$$ $$\dfrac{\partial\,z}{\partial\,y}=\dfrac{\partial\,f}{\partial\,u}\,\dfrac{\partial\,u}{\partial\,y}+\dfrac{\partial\,f}{\partial\,v}\,\dfrac{\partial\,v}{\partial\,y} \quad (2)$$
Ejemplo: Dada la función $z=f(x,y)=\ln\,(u^2+v)$, donde $u=e^{x+y^2}$ y $v=x^2+y$, siendo $x$ e $y$ variables independientes. Voy a calcular las derivadas parciales de primer orden: $\dfrac{\partial\,z}{\partial\,x}$ y $\dfrac{\partial\,z}{\partial\,y}$
Hago los cálculos: $\dfrac{\partial\,f}{\partial\,u}=\dfrac{2u}{u^2+v}$, $\dfrac{\partial\,f}{\partial\,v}=\dfrac{1}{u^2+v}$, $\dfrac{\partial\,u}{\partial\,x}=e^{x+y^2}$, $\dfrac{\partial\,u}{\partial\,y}=2y\,e^{x+y^2}$, $\dfrac{\partial\,v}{\partial\,x}=2x$ y $\dfrac{\partial\,v}{\partial\,y}=1$
Con lo cual, sustituyendo en $(1)$ y $(2)$ se obtiene (después de operar y simplificar): $$\dfrac{\partial\,z}{\partial\,x}=2\,\dfrac{x+(e^{x+y^2})^2}{(e^{x+y^2})^2+x^2+y}$$ y $$\dfrac{\partial\,z}{\partial\,y}=\dfrac{4y\,(e^{x+y^2})^2+1}{(e^{x+y^2})^2+x^2+y}$$
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