Me propongo encontrar la forma canónica de Jordan asociada a la matriz $A=\begin{pmatrix}3&-1&-1\\ 1& 1 & -1\\1&-1&1\end{pmatrix}$ así com el cambio de base correspondiente
Calculo los valores propios:
$P(\lambda)=\begin{vmatrix}3-\lambda&-1&-1\\ 1& 1-\lambda & -1\\1&-1&1-\lambda\end{vmatrix}$
$P(\lambda)=0$
$(\lambda-1)(\lambda-2)=0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}\lambda_1=1\,,\,k_1=1\\\lambda_2=2\,,\,k_2=2\end{matrix}\right.$
Subespacions propios:
$E_1(1)=\text{ker}(A-1\cdot I)$
$E_2(2)=\text{ker}(A-2\cdot I)$
Dimensión de los espacios propios:
Teniendo en cuenta que $(A-1\cdot I)=\begin{pmatrix}2&-1&-1\\ 1& 0 & -1\\1&-1&0\end{pmatrix}$, vemos que, como $\text{det}(A-1\cdot I)=0$, $\text{rango}(A-1\cdot I)\lt 3$, y, como existen menores de orden $2$ no nulos, como por ejemplo, $\begin{vmatrix}2&-1\\1&0\end{vmatrix}=1\neq 0$, se tiene que $\text{rango}(A-1\cdot I)=2$, con lo cual $$\text{dim}(E_1(1))=\text{dim}(V)-\text{rango}(A-1\cdot I)=3-2=1$$
Por otra parte, $(A-2\cdot I)=\begin{pmatrix}2&-1&-1\\ 1& -1 & -1\\1&-1&-1\end{pmatrix}$. Como las filas/columnas segunda y tercera son las mismas que la primera es claro que $\text{rango}(A-1\cdot I)= 1$, luego $$\text{dim}(E_2(2))=\text{dim}(V)-\text{rango}(A-2\cdot I)=3-1=2$$
Démonos cuenta de que al coincidir la multiplicidad de cada valor propio con la dimensión del correspondiente subespacio propio, $k_1=1$ y $\text{dim}(E_1(1))=1$; $k_2=2$ y $\text{dim}(E_2(2))=2$, la matrix de la forma canónica de Jordan ha de ser una matriz diagonal:
$$D=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}$$
Calculo, ahora, una base para cada subespacio propio. Para $E_1(1)$, deberá cumplirse que $$\begin{pmatrix}2&-1&-1\\ 1& 0 & -1\\1&-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\0\end{pmatrix}$$
Al ser la dimensión de $E_1(1)=1$, el número de parámetros libres del sistema de ecuaciones lineales asociados, con dos ecuaciones linealmente independientes, es $1$. La última fila de la matriz es combinación lineal de las dos primeras, luego podemos escribir el sistema de ecuacines lineales de la forma
$\left\{\begin{matrix}2\,x_1-x_2=x_3\\x_1=x_3\end{matrix}\right.\Rightarrow E_1(1)=\{a\,(1,1,1), a\in \mathbb{K}\}$ luego, para (por ejemplo) $a=1$, el vector $(1,1,1)=:\vec{u}_1$ constituye una base de $E_1(1)$, que notamos de la forma $E_1(1)=\langle(1,1,1)\rangle$. El vector $\vec{u}_1$ es pues el primer vector de la nueva base con respecto a la cual escribiremos la matriz de la forma canónica de Jordan -en el caso que nos ocupa es una matriz diagonal-, siendo sus coordenadas las de la primera columna de la matriz del cambio de base (de la b. canónica a la nueva base).
Para $E_2(2)$, deberá cumplirse que $$\begin{pmatrix}1&-1&-1\\ 1& -1 & -1\\1&-1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\0\end{pmatrix}$$
El número de ecuaciones linealmente independientes es por tanto $1$, y al ser la dimensión de $E_2(2)=2$, el número de parámetros libres del sistema de ecuaciones lineales asociados, con dos ecuaciones linealmente independientes, es $2$. El sistema de ecuaciones lineales asociado puede escribirse por tanto con una única ecuación:
$\left\{\begin{matrix}x_2+x_3=x_1\end{matrix}\right.\Rightarrow E_2(2)=\{a\,(1,0,1)+b\,(1,1,0);\, a\,b\in \mathbb{K}\}$ luego, para (por ejemplo) $a=1$ y $b=1$, los vectores $(1,0,1)=:\vec{u}_2$ y $(1,1,0)=:\vec{u}_3$ constituyen una base de $E_2(2)$, que notamos de la forma $E_2(2)=\langle(1,0,1),((1,1,0)\rangle$. Los vectores vector $\vec{u}_2$ y $\vec{u}_3$ son, respectivamente, el segundo y el tercer vector de la nueva base del espacio vectorial $V$ con respecto a la cual escribiremos la matriz de la forma canónica de Jordan, siendo sus coordenadas las de la segunda y tercera columnas de la matriz, $P$, del cambio de base (de la b. canónica a la nueva base):
$$P=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}$$
Observación:
La matriz dada, $\begin{pmatrix}3&-1&-1\\ 1& 1 & -1\\1&-1&1\end{pmatrix}$ es la matriz del endomorfismo con respecto a la base canónica , $\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$ y la matriz de Jordan (en nuestro caso, diagonal) que hemos encontrado $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}$ es la matriz del endomorfismo con respecto a la nueva base $\{(1,1,1),(1,0,0),(1,1,0)\}$.
Puede comprobarse que, efectivamente, se cumple $$D=P^{-1}\,A\,P$$
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