Consideremos la siguiente relación entre los números complejos $w$ y $z$: $w=\sin(z)$, siendo $z=x+i\,y$, con (claro está) $x,y\in \mathbb{R}$. Vamos a demostrar que $$|w|=\sqrt{\sin^2\,(x)\cdot \cosh^2\,(y)+\cos^2(x)\cdot \sinh^2\,(y)}$$
$w=\sin(z)$
$w=\sin(x+i\,y)$
$w=\sin(x)\cdot \cos(i\,y)+\cos(x)\cdot \sin(i\,y) \quad (1)$
Recordemos que:
$\sinh\,(\tilde{z})=-i\,\sin\,(i\tilde{z}) \Rightarrow i\,\sinh\,(\tilde{z})=-i^2\,\sin\,(i\tilde{z}) \Rightarrow \sin\,(i\tilde{z})=i\,\sinh\,(\tilde{z})$
$\cos\,(i\tilde{z})=\cosh\,(\tilde{z})$
donde $\tilde{z}$ es cualquier número complejo, que, en particular puede tener su parte imaginaria nula.
Entonces, podemos escribir $(1)$ de la siguiente manera:
$w=\sin(x)\cdot\cosh(y)+i\,\cos(x)\cdot\sinh(y)$
por consiguiente, su módulo es igual a,
$|w|=\sqrt{(\sin(x)\cdot \cosh(y))^2+(\cos(x)\cdot \sinh(y))^2}$
esto es,
$|w|=\sqrt{\sin^2\,(x)\cdot\cosh^2\,(y)+\cos^2\,(x)\cdot\sinh^2\,(y)}$
$\diamond$
