A modo de ejercicio, voy a calcular la matriz inversa de $A=\begin{pmatrix}i&1\\1&i\end{pmatrix}$, cuyos elementos pertenecen al cuerpo de los números complejos
Voy a utilizar el método de reducción:
$$\left(\begin{array}{cc|cc}
i & 1 & 1 & 0 \\
1 & i & 0 & 1 \\
\end{array}\right)
$$
Multiplicando por $i$ los elementos de la primera fila y sumando la fila resultante a los elementos de la segunda obtenemos:
$$\left(\begin{array}{cc|cc}
i & 1 & 1 & 0 \\
0 & 2i & i & 1 \\
\end{array}\right)
$$
Ahora, multipliquemos por $\dfrac{1}{2}\,i$ los elementos de la segunda fila y sumemos a los de la primera:
$$\left(\begin{array}{cc|cc}
i & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\,i \\
0 & 2i & i & 1 \\
\end{array}\right)
$$
Multiplicando lo0s elementos de la primera fila por $-i$:
$$\left(\begin{array}{cc|cc}
1 & 0 & -\frac{1}{2}\,i & \frac{1}{2} \\
0 & 2i & i & 1 \\
\end{array}\right)
$$
Y, finalmente, multipliquemos los elementos de la segunda fila por $-\frac{1}{2}\,i$:
$$\left(\begin{array}{cc|cc}
1 & 0 & -\frac{1}{2}\,i & \frac{1}{2} \\
0 & 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\,i \\
\end{array}\right)
$$
Así pues, $$A^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}\,i & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\,i \end{pmatrix}=\dfrac{1}{2}\, \begin{pmatrix}-i & 1 \\ 1 & -i \end{pmatrix}$$
Nota:
Un método alternativo es el de la matriz de los cofactores: $A^{-1}=\dfrac{C^t}{\text{det}(A)}$ donde $C=[c_{ij}]_{n\times n}:=[(-1)^{i+j}\,\mathcal{A}_{ij}]_{n \times n}$ siendo $\mathcal{A}$ la matriz de los adjuntos asociada a $A$
Así, en el caso que nos ocupa, $C=\begin{pmatrix}(-1)^{1+1}\,\text{det}(a_{22})&(-1)^{1+2}\,\text{det}(a_{21}) \\ (-1)^{2+1}\,\text{det}(a_{12})&(-1)^{2+2}\,\text{det}(a_{11}) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}i&-1\\-1&i\end{pmatrix}$, con lo cual $C^t=\begin{pmatrix}i&-1\\-1&i\end{pmatrix}$; por otra parte, $\det{A}=\begin{vmatrix}i&1\\1&i\end{vmatrix}=i^2-1^2=-1-1=-2$, luego $A^{-1}=\dfrac{1}{-2}\,\begin{pmatrix}i&-1\\-1&i\end{pmatrix}=\dfrac{1}{2}\,\begin{pmatrix}-i&1\\1&-i\end{pmatrix}$, tal y como ya hemos calculado antes por el método de reducción.
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