Encontrar el Norte geográfico mediante el método de Vitrubio

El método que empleaba el arquitecto romano Vitrubio para determinar el Norte geográfico invita a realizar una bonita e interesante actividad. Se puede utilizar este método en un día soleado, pues se sirve de la sombra de un bastón plantado en posición vertical a un plano (suelo) horizontal.

Consiste en plantar un palo vertical por la mañana ( antes del paso del Sol por el meridiano del lugar ), comprobando la verticalidad con una plomada. Primero, marcaremos el extremo de la sombra del palo ( sobre el plano horizontal ).

A continuación, con la ayuda de un hilo, trazamos un arco de circunferencia con centro en la base del palo y radio igual a la longitud de la sombra medida, pasando pues por el punto marcado, y abarcando el suficiente ángulo central para que, esperando el tiempo necesario, veamos el extremo de la sombra volviendo a intersecar la circunferencia, lo cual, lógicamente, se producirá por la tarde, en algún instante después del mediodía.

Trazando ahora el segmento que pasa por los dos puntos de intersección con la circunferencia ( con la ayuda de un hilo estirado, a modo de compás ), determinaremos la dirección Este-Oeste. Así, pues, la mediatriz de dicho segmento (que a su vez es la bisectriz del ángulo con vértice en la base del palo) nos indicará la dirección Norte-Sur.

Puede que, como actividad de geometría "de campo", tenga interés didáctico en matemáticas, ciencias experimentales y geografía.

Material:
Nos bastarán unos hilos ( cordeles ), un palo, y algún tipo de trazador ( tiza, por ejemplo ) para el arco de circunferencia y par los segmentos de recta de los que hemos hablado. -oOo- Referencias:
  [1] https://es.wikipedia.org/wiki/Vitruvio, Wikipedia

Navegación en una superficie esférica. Derrota ortodrómica del punto A al punto B

Se quiere navegar del punto A al punto B por el camino más corto sobre la superficie de una esfera, esto es siguiendo el arco de curva ortodrómica ( de círculo máximo ) que pasa por los dos puntos. En navegación, este problema es muy importante.

Supongamos que nos encontramos en la superficie de la Tierra ( que consideraremos idealmente como una esfera ). Conocemos las coordenadas geográficas las coordenadas geográficas ( latitud y longitud ) del punto inicial y del punto final del camino, $(\ell_A,L_A)$ y $(\ell_B,L_B)$, y nos interesa calcular el valor del rumbo inicial a seguir, $\hat{R_0}$ ( rumbo que deberá ir corrigiéndose a medida que naveguemos ) así como la longitud del trozo de ortodrómica - a navegar - entre $A$ y $B$, que denotaremos por $d_{AB}$.

Fig. 1: Triángulo esférico en el que se muestra la trayectoria/derrota ortodrómica a seguir desde el punto A hasta el punto B

En dicho triángulo esférico sabemos que, por el teorema del coseno ( fórmulas de Bessel ): $$\cos(d_{AB})=\cos(90^{\circ}-\ell_B)\cdot cos(90^{\circ}-\ell_A)+\sin(90^{\circ}-\ell_B)\cdot \sin(90^{\circ}-\ell_A)\cdot \cos(L_B-L_A)$$ fórmula que nos permite calcular $d_{AB}$   (2), pues las cantidades del segundo miembro son datos del problema. Así, tendremos que $$d_{AB}=\arccos\,\left(\cos(90^{\circ}-\ell_B)\cdot cos(90^{\circ}-\ell_A)+\sin(90^{\circ}-\ell_B)\cdot \sin(90^{\circ}-\ell_A)\cdot \cos(L_B-L_A)\right)$$ Obviamente, el valor obtenido vendrá dado en grados, así que para obtener la distancia en millas náuticas bastará expresar el resultado en minutos de arcos, habida cuenta de que una milla náutica equivale a un minuto de arco de meridiano (1).

Por otra parte, para conocer el rumbo inicial a seguir (desde el punto de partida $A$), podemos utilizar estos dos procedimientos:
I) Por el teorema de la cotagente: $$\cot(90^{\circ}-\ell_B)\cdot \sin(90^{\circ}-\ell_A)=\cos(90^{\circ}-\ell_A) \cdot \cos(L_B-L_A) + \sin (L_B-L_A)\cdot \cot(\hat{R_0})$$ Teniendo en cuenta que $\cot(\hat{R_0})=\dfrac{1}{\tan(\hat{R_0)}}$, despejando se obtiene (2): $$\tan(\hat{R_0})=\dfrac{\sin(\ell_B-\ell_A)}{\cot(90^{\circ}-\ell_B)\cdot \sin(90^{\circ}-\ell_A)-\cos(90^{\circ}-\ell_A)\cdot \cos(L_B-L_A)}$$ y por tanto $$\hat{R_0}=\arctan \left(\dfrac{\sin(L_B-L_A)}{\cot(90^{\circ}-\ell_B)\cdot \sin(90^{\circ}-\ell_A)-\cos(90^{\circ}-\ell_A)\cdot \cos(L_B-L_A)}\right)$$
II) Otra vez, utilizando la fórmula de Bessel (aplicándolo ahora a otro lado del triángulo) habida cuenta de que ya habremos calculado el lado $d_{AB}$: $$\cos(90^{\circ}-\ell_B)=\cos(90^{\circ}-\ell_A)\cdot \cos(d_{AB})+\sin(90^{\circ}-\ell_A)\cdot \sin(d_{AB})\cdot \cos(\hat{R_0})$$ de donde, depejando $\hat{R_0}$, se llega a $$\hat{R_0}=\arccos\left( \dfrac{\cos(90^{\circ}-\ell_B)- \cos(90^{\circ}-\ell_A)\cdot \cos(d_{AB})}{\sin(90^{\circ}-\ell_A)\cdot \sin(d_{AB})} \right)$$
III) Y, también ( habiendo calculado ya $d_{AB}$ ), por el teorema del seno, podemos escribir $$\dfrac{\sin(90^{\circ}-\ell_B)}{\sin(\hat{R_0})}\overset{*}{=}\dfrac{\sin(d_{AB)})}{\sin(L_B-L_A)}=\dfrac{\sin(90^{\circ}-\ell_A)}{\sin(\hat{B})}$$ luego por (*), $$\hat{R_0}=\arcsin\left( \dfrac{\sin(90^{\circ}-\ell_B)\cdot \sin(L_B-L_A)}{\sin(d_{AB})}\right)$$ -oOo- Observaciones:
(1) Una milla náutica equivale a $1\,852$ metros

(2) El valor, en grados, de dicho resultado hay que interpretarlo correctamente a la hora de ponernos a rumbo. Conviene, en este caso, expresarlo en forma cuadrantal. Pongamos en un supuesto de que el resultado de $\hat{R_0}$ extraído de la fórmula fuese pongamos que de $40^{\circ}$, y que $\ell_B \succ \ell_A$ y $L_B \succ L_A$ ( lo cual nos indica que nos dirigimos hacia algún punto del cuarto cuadrante ) - en náutica la numeración de los cuadrantes se efectúa en el sentido horario partiendo del primero, que está comprendido entre el Norte y el Este, esto es, nos dirigimos hacia algún punto del cuadrante comprendido entre el Norte y el Oeste -, por lo que el rumbo cuadrantal a seguir sería $N40^{\circ}W$, lo que equivale a $360^{\circ}-40^{\circ}=320^{\circ}$ en su expresión dada como rumbo circular.

(3) Para realizar estos cálculos es suficiente una calculadora científica básica


Referencias:
[1] Geometría_esférica, Wikipedia
[2] Trigonometría_esférica, Wikipedia
[3] MEDEROS, L., Navegación Astronómica, Tutor, Madrid, 2016
[4] MOREU, J.M.; MARTÍNEZ, J., Astronomía y Navegación, Librería San José, Vigo, 1987

La paralaje. Un método de medida indirecta de la distancia a objetos lejanos

La paralaje es un método astronómico básico empleado desde la antigüedad para medir distancias entre astros/planetas. Y, por supuesto, también se puede utilizar en navegación, en la mar o en tierra, para hacer cálculos de medidas indirectas de objetos a partir de una distancia conocida y ángulos que podemos tomar con el sextante o bien con el compás de demoras, siempre y cuando, claro está, que el objeto observado esté lo suficientemente alejado del observador para que la aproximación del lado por la longitud de arco sea aceptable. El método de paralaje se basa en conceptos sencillos de geometría y proporcionalidad. Si queréis documentaros un poco más sobre la paralaje, os sugiero una lectura en este artículo de Wikipedia: [ http://es.wikipedia.org/wiki/Paralaje ] Como aplicación práctica en navegación, si podemos medir ángulos (con compás de demoras) y disponemos, como dato, de alguna distancia conocida de partida, en principio también podemos medir la velocidad del observador en movimiento rectilíneo - de forma indirecta - ya que, conociendo el ritmo de variación del ángulo de paralaje en un corto intervalo de tiempo y teniendo información sobre el rumbo, solo queda por hacer un simple cálculo de proporcionalidad. Seria interesante comparar los resultados con los de la lectura de un radar, por ejemplo. Aunque, sin duda, obtengamos algo un poco tosco, sin mucha precisión, me parece interesante.

Observant l'horitzó. Càlcul aproximat de la distància entre dos observadors situats en dos punts propers a la superfície de la Terra

Maria passeja per la platja, s'atura i contempla la mar (la seva altura és de 1,65 m). És l'hora foscant. No veu cap embarcació a la llunyania, només el blau del mar i la fina línia de l'horitzó a la llum de l'ocàs; però, tot d'una, es comença a veure un dels llums de navegació de l'extrem del pal d'un veler (suposem que l'altura del pal és de 10 m). Quina distància hi ha entre el veler i Maria ? Distància a l'horitzó: Primer de tot, cal saber calcular la distància a l'horitzó d'un observador. Per això podem imaginar una petita boia amb un llum (la seva altura és negligible), siutuada just en el punt més enllà del qual (a més distància de la platja) ja no es pot veure (des de la platja) degut a la curvatura de la Terra. Posem que a és l'altura d'un observador. Com es pot veure a la figura (la circumferència representa la circumferència meridiana, E el punt de l'horitzó de l'observador E), per fer un càlcul aproximat de la distància a l'horitzó s és possible fer ús del teorema de Pitàgores, en el benentès que l'altura a la qual observem sigui moderada (no pensem en un observador que viatja en un avió a gran altitud, sinó en un observador situat a prop la superfície de la Terra), en el sentit que la distància a l'horitzó s pugui ser aproximada per la longitud DE del quadrat de color verd. Observeu la configuració del teorema de Pitàgores: els quadrats (de colors marró, verd, i rosa) damunt dels respectius costats del triangle rectangle AED. Naturalment es compleix que l'àrea del quadrat sobre la hipotenusa R+a cal que sigui igual a la suma de les àrees dels altres dos quadrats, bastits damunt els respectius catets; per tant, l'àrea del quadrat de color verd és igual a que és igual a Llavors, la longitud del costat d'aquest quadrat pren el valor i és igual, aproximadament a la distància a l'horitzó s Prenent el radi de la Terra igual, aproximadament, a 3670 km, podem escriure la següent expressió aproximada (fàcil de recordar) per poder fer càlculs aproximats, quan fem observacions "de camp": Entrant a en metres, obtenim la distància a l'horitzó en quilòmetres. I, de gran interès per als navegants: si es vol donar en milles nàutiques (NM), cal recordar que Ara que ja sabem calcular la distància a l'horitzó d'un observador, podrem calcular la distància entre dos observadors; seguint l'exemple, un d'ells és la Maria (situada a la platja, dreta) i el segon observador l'imaginarem posat a l'extrem del pal del veler (mirant vers la posició de la Maria). Fem-ho: Distància entre el veler i la Maria: En el cas concret que hem plantejat, cal sumar la distància a l'horitzó de la Maria i la distància a l'horitzó d'un observador que estigués situat a l'extrem del pal (observant en direcció a la platja, on es troba la Maria): Sumant les distàncies a l'hortizó respectives trobem que la distància aproximada entre el veler i la Maria és igual a i aproximant a una xifra decimal: Referències: ROJO, A. &nbsp La física en la vida cotidiana. RBA Libros, 2010 JOUETTE, A. &nbsp El secreto de los números. Robinbook, 2000