Introducción a la resolución de ecuaciones diofánticas

Antes de exponer la solución del ejercicio que resolveremos como ejemplo, vamos a decir algunas cosas sobre las ecuaciones con números enteros; en concreto, las que toman la forma $ax+by=c$ (que son las más sencillas), y que llamamos ecuaciones diofánticas lineales. Los coeficientes $a,b,c \in \mathbb{Z}$ vienen dados; y, de tener solución la ecuación, las incógnitas $x$ e $y$, que debemos determinar deben ser, también, números enteros.

Algo de teoría:
Veamos lo que nos dice la teoría: Una ecuación diofántica lineal del tipo $ax+by=c$ tiene solución si y sólo si $d\overset{.}{=}\text{m.c.d.}(a,b)$ es divisor del término independiente $c$, lo cual anotamos de la forma abreviada $d|c$; y, teniendo solución dicha ecuación, se demuestra que hay infinitos pares de valores $(x,y)$ que satisfacen dicha ecuación. Encontramos las infinitas soluciones ( solución general ) encontrando, primero, una solución particular $(x_1,y_1)$, y, a continuación, la solución general, que es de la forma

$$\left\{\begin{matrix} x=x_1+\lambda\,\dfrac{b}{d} & \\ \\ y=y_1-\lambda\,\dfrac{a}{d} & \\ \end{matrix}\right. \forall \lambda \in \mathbb{Z}$$

Vamos, ahora, a exponer un ejemplo.

ENUNCIADO:
Sea la ecuación diofántica lineal $6x+50y=108$. ¿ Tiene solución ? En caso afirmativo, ¿ cómo son los infinitos pares de valores enteros $(x,y)$ ?

SOLUCIÓN:
Observemos que $a=6$, $b=50$ y $c=108$. Como el máximo común divisor de $a$ y $b$, $d:=\text{m.c.d.}(6,50)=2$, es divisor del término independiente $c=108$, esto es $2 | 108$, podemos afirmar que la ecuación tiene solución en $\mathbb{Z}$ y que ésta consta de infinitos pares de números enteros $(x,y)$, que vamos a ver cómo son a continuación.

Encontremos, para empezar, una solución particular de la ecuación dada. Para ello, determinaremos primero una solución particular de la ecuación $ax+by=d$ (identidad de Bézout) y, partiendo de ésta, encontraremos la solución general a una ecuación diofántica lineal.

La identidad de Bézout, $ax+by=d$ es, en el caso que nos ocupa, $6x+50y=2$. Y vemos fácilmente que, $-8$ y $1$ son dos números enteros que cumplen dicha igualdad; en efecto, $6(-8)+50\cdot 1 = 2$   (1). Y, como el término independiente, $108$, de la ecuación pedida se obtiene multiplicando el término independiente de la identidad de Bézout ( que es $2$ ) por $108/2=54$, mutiplicaremos pues ambos miembros de (1) por $54$ para obtener $$6\cdot (-8)\cdot 54+50\cdot 1 \cdot 54 = 2 \cdot 54$$ con lo cual $$6 \cdot \underset{x_1}{\underbrace{\left((-8)\cdot 54\right)}}+50 \cdot \underset{y_1}{\underbrace{\left( 1 \cdot 54 \right)}}= 108$$ es decir $$6 \cdot \underset{x_1}{\underbrace{(-432)}}+50 \cdot \underset{y_1}{\underbrace{54}}= 108$$ luego una solución particular es $$x_1=-432\,,\,y_1=54$$ Así pues, finalmente, construyendo la solución general, llegamos a $$\left\{\begin{matrix} x=-432+\lambda\,\dfrac{50}{2} & \\ \\ y=54-\lambda\,\dfrac{6}{2} & \\ \end{matrix}\right. \forall \lambda \in \mathbb{Z}$$
es decir
$$\left\{\begin{matrix} x=-432+25\,\lambda \\ \\ y=54-3\,\lambda \\ \end{matrix}\right. \quad \quad \forall \lambda \in \mathbb{Z}$$

Ahora, dando valores (enteros) arbitrarios al parámetro $\lambda$ podemos encontrar cualesquiera de los pares de números enteros $(x,y)$ - hay infinitos - que constituyen la solución general; así, por ejemplo, para $\lambda = 4$, encontramos $(-332,42)$, etcetera.


Referencias:
  [1] BUJALANCE, E.; et. al., Elementos de Matemática Discreta, Sanz y Torres, Madrid, 2005 ( tercera edición )
  [2] PARSONS, P.; DIXON, G.et. al., Matemáticas en segundos, Librero, Madrid, 2020 ( pp. 42-43 )
  [3] Wikipedia, https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuación_diofántica

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