La identidad de Bézout

El lema de Bézout

Un resultado básico relacionado con el máximo común divisor de dos números (enteros), distintos de cero, $a,b$ —y lo notaremos de la forma $(a,b)$—, es la denominada identidad de Bezout (lema de Bezout), que dice así:

  Sea $\mathbb{Z} \ni d=(a,b)$, entonces existen dos números enteros $x,y$, no necesariamente únicos, tales que $d=ax+by \quad \quad (1)$.

Ejemplo. Consideremos los números enteros $2$ y $4$. El máximo común divisor de estos dos números es $d=2$, luego, según el lema de Bézout, existen (infinitas) parejas de números $x$ e $y$, tales que $2=2x+4y$. Nos proponemos encontrar cómo son estas infinitas parejas de números $x,y$.

En un caso general, consideremos dos soluciones particulares $x_1,y_1$ y $x_2,y_2$ de la ecuación $d=ax+by$, y que por tanto se sastisfaga $d=a\,x_1+b\,y_1$ y $d=a\,x_2+b\,y_2$. Entonces, como la estructura algebraica que liga los otros infinitos pares de valores es lineal, estas parejas de números enteros están alineadas en una recta cuyas ecuaciones paramétricas son $\left\{\begin{matrix}x-x_1 = \lambda\,(x_2-x_1)\\y-y_1=\lambda\,(y_2-y_1)\end{matrix}\right.\,; \lambda\in \mathbb{Z}$, o, dicho de otro modo, la solución general vendrá dada por

$$\left\{\begin{matrix}x=x_1+ \lambda\,(x_2-x_1)\\y=y_1+\lambda\,(y_2-y_1)\end{matrix}\right.\,; \lambda\in \mathbb{Z}\quad \quad (2)$$ donde $x_2-x_1$ e $y_2-y_1$ son, desde luego, números enteros.

Se puede comprobar sin dificultad que, para toda solución particular$x_p,y_p$ de (1), entonces $x_p+kb$ e $y_p-ka$, para cualquier $k\in \mathbb{R}$, también constituye otra solución particular de la misma ecuación; en efecto $a\,(x_p+kb)+b\,(y_p-ka) = a\,x_p+kab+b\,y_p-kab=a\,x_p+b\,y_p$, y, por tanto, $a\,(x_p+kb)+b\,(y_p-ka)=d$. Entonces, podemos escoger los números enteros $x_2-x_1$ e $y_2-y_1$ de los segundos términos de los respectivos segundos miembros de (2) de la forma $x_2-x_1:=\dfrac{b}{d}$ e $y_2-y_1:=-\dfrac{a}{d}$, habida cuenta de que $\dfrac{b}{d} \in \mathbb{Z}$ y $\dfrac{a}{d}\in \mathbb{Z}$ por ser $d=(a,b)$. Así las cosas, podemos escribir las ecuaciones paramétricas (2) de la forma:

$$\left\{\begin{matrix} x=x_1+\lambda\,\dfrac{b}{d} \\y=y_1-\lambda\,\dfrac{a}{d} \end{matrix}\right.\,;\lambda\in \mathbb{Z}$$

Resolvamos ahora el ejemplo concreto que nos hemos planteado. Fácilmente, vemos que una solución particular es $x_1=-1$, $y_1=1$ —en efecto, comprobamos que para estos valores de $x$ e $y$ se satisface (1): $2=2\cdot (-1)+4\cdot 1$—, con lo cual, y según lo que hemos razonado arriba, se tiene que

$$\left\{\begin{matrix}x=-1+\dfrac{4}{2}\,\lambda\\y=1-\dfrac{2}{2}\,\lambda\end{matrix}\right.\,; \lambda \in \mathbb{Z}$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}x=-1+2\,\lambda\\y=1-\lambda\end{matrix}\right.\,; \lambda \in \mathbb{Z}$$ Podemos pues encontrar los infinitos pares de valores $x$ e $y$ que son solución de (1) asignando valores arbitraios al parámetro entero $\lambda$. Así, para $\lambda=0$ se obtiene la solución particular de la que hemos partido: $x=-1$ e $y=1$; para $\lambda=1$, $x=1$ e $y=0$; para $\lambda=2$, $x=3$ e $y=-1$; para $\lambda=-1$, $x=-3$ e $y=2$; para $\lambda=-2$, $x=-5$ e $y=3$, etcétera.

Ecuaciones diofánticas lineales

Una utilidad muy importante de la identidad de Bézout es la de formar parte del proceso de resolución de una ecuación diofántica lineal, $cx+dy=k$, con $c,d,k\in \mathbb{Z}$, para encontrar la solución general, a partir de una solución particular, se procede de una forma muy parecida a la que estamos empleando para encontrar las parejas de valores $x,y$ de la igualdad de Bézout, y lo expongo en este otro artículo (de este mismo cuaderno), mediante un ejemplo práctico.$\diamond$