Ejemplo de aplicación de la función gamma a la integración de determinadas funciones

Recordemos la definición de la función gamma de $z\in \mathbb{C}$ $$\displaystyle \Gamma(z)=\int_{0}^{+\infty}\,t^{z-1}\,e^{-t}\,dt$$ la cual extiende el concepto de factorial a los números reales y complejos.

Vamos a utilizarla en este ejercicio para integrar la función real de variable real $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\,x\,e^{x^3}\,dx$. Para ello, partiremos de la definición de la función gamma, siendo ahora $z$ una variable real, por lo que, por claridad, reescribiremos la definición para esta situación particular de la forma $p\in \mathbb{R}$ $$\displaystyle \Gamma(p)=\int_{0}^{+\infty}\,t^{p-1}\,e^{-t}\,dt$$

Para ello, parece natural realizar el cambio de variable $t=x^3$ (con lo cual $x=t^{1/3}$); diferenciando en cada miembro de la igualda: $dx=\dfrac{1}{3}\,t^{-2/3}\,dt$. Así, la integral pedida se puede expresar de la forma $$\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\,x\,e^{x^3}\,dx=\int_{0}^{+\infty}\,\dfrac{1}{3}\,t^{-1/3}\,e^{-t}\,dt=\dfrac{1}{3}\,\int_{0}^{+\infty}\,t^{2/3-1}\,e^{-t}\,dt\overset{p=2/3}{=}\dfrac{1}{3}\,\Gamma\left(\dfrac{2}{3}\right)$$ Nota: $\Gamma(2/3)$ es un número trascendente que aproximadamente es igual a $1,3541$, tal como puede comprobarse con la herramienta en línea WolframAlpha. $\diamond$