Funciones reales de una variable real. Infinitésimos equivalentes

Definición (infinitésimo).Recordemos que $f(x)$ es un infinitésimo si $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\,f(x)=0$, donde $a$ puede ser, también, $\pm\infty$.

Definición (infinitésimos equivalentes).Dos infinitésimos, $f(x)$ y $g(x)$ son equivalentes si $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\,\dfrac{f(x)}{g(x)}=1$.

Definición (orden relativo de dos infinitésimos).Dos infitésimos $f(x)$ y $g(x)$ tienen el mismo orden si $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\,\dfrac{f(x)}{g(x)}=k\neq 0$. Diremos que $f(x)$ es de mayor orden que $g(x)$ si $k=0$; y, $f(x)$ es de menor orden que $g(x)$ si $k=\pm \infty$. En el caso de que no exista el límite referido se dice que los infinitésimos $f(x)$ y $g(x)$ no son comparables.

Teorema 1. Dos infinitésimo son equivalentes si y sólo si el orden la diferencia es mayor que el orden de ambos.

Teorema 2. La suma de dos infitésimos de distinto orden es equivalente al infinitésimo de menor orden.

Teorema 3 (Sustitución de infinitésimos equivalentes). Sea $\phi(x)$ un infinitésimo. Entonces, si el límite $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\,\phi(x)\,f(x)$, pudiendo ser éste convergente o bien divergente, existe un infinitésimo $\psi(x)$ equivalente a $\phi(x)$ —lo notamos como $\phi(x)\sim \psi(x)$— tal que $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\,\phi(x)\,f(x)=\lim_{x\rightarrow a}\,\psi(x)\,f(x)$$

Teorema 4 (Sustitución de infinitésimos equivalentes). Sea $\phi(x)$ un infinitésimo. Entonces, si el límite $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\,\dfrac{f(x)}{\phi(x)}$, pudiendo ser éste convergente o bien divergente, existe un infinitésimo $\psi(x)$ equivalente a $\phi(x)$ —lo notamos como $\phi(x)\sim \psi(x)$— tal que $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\,\dfrac{f(x)}{\phi(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\,\dfrac{f(x)}{\psi(x)}$$

Los siguientes son infinitésimos equivalentes:

• $\ln(1+x)\sim x$, para $x\rightarrow 0$
• $\ln(x)\sim x-1$, para $x\rightarrow 1$
• $e^x-1\sim x$, para $x\rightarrow 0$
• $a^x-1\sim x\,\ln(x)$, para $x\rightarrow 0$
• $\sin(x)\sim x$, para $x\rightarrow 0$
• $\tan(x)\sim x$, para $x\rightarrow 0$
• $\text{arcsen}(x)\sim x$, para $x\rightarrow 0$
• $\text{arctan}(x)\sim x$, para $x\rightarrow 0$
• $1-\cos(x)\sim \dfrac{x^2}{2}$, para $x\rightarrow 0$
• $(1+x)^m-1\sim mx$, para $x\rightarrow 0$ y $m\gt 1$
• $\sqrt[n]{x+1}\sim \dfrac{x}{n}$, para $x\rightarrow 0$

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Observación. Con variable discreta, para $n\rightarrow \infty$), algunas aproximaciones válidas son:

• $n!\approx \sqrt{2\pi\,n}\cdot n^n\cdot e^{-n}$ (aproximación de Stirling)
• $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,\dfrac{1}{i}\approx \ln\,n+c+\varepsilon$, donde $c$ es una constante y $\varepsilon \overset{n\rightarrow \infty}{\rightarrow} 0$
• $\dfrac{n^p}{a^n}\approx 0$
• $\dfrac{a^n}{n^p} \approx \infty$
• $\dfrac{\log_{a}\,n}{n^p}\approx 0$
• $\sqrt[n]{a}-1\approx \dfrac{\ln\,a}{n}$
• $\ln(a_n+1) \approx a_n$ cuando $a_n\rightarrow 0$
• $\ln\,a_n \approx a_n-1$ cuando $n\rightarrow 1$

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