El factorial $n!$ se define a partir de la función gamma de $z\in \mathbb{C}$ $$\displaystyle \Gamma(z)=\int_{0}^{+\infty}\,t^{z-1}\,e^{-t}\,dt$$ la cual extiende el concepto de factorial a los números reales y complejos.
En particular, para $0\lt p\in \mathbb{R}$ se tiene que $$\displaystyle \Gamma(p)=\int_{0}^{+\infty}\,t^{p-1}\,e^{-t}\,dt$$ y se demuestra que $$\left\{\begin{matrix}\Gamma(p+1)=p\,\Gamma(p) \\ \Gamma(0)=1\end{matrix}\right.$$
Aplicando dicha recursividad, y tomando $p=n\in \mathbb{N}\cup \{0\}$ se llega, en particular, a la noción de factorial de un número entero no negativo $$\Gamma(n+1)=n! =\displaystyle \int_{0}^{\infty}\,t^{n}\,e^{-t}\,dt$$ Así pues $$0!=\displaystyle \int_{0}^{\infty}\,t^{0}\,e^{-t}\,dt=\int_{0}^{\infty}\,e^{-t}\,dt=1$$ $\diamond$
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