La operación módulo, para dos números enteros a y b, se define como a \mod b := \text{residuo}( a \div b), entendiendo la división como la división euclídea: dados a\in \mathbb{Z} y \mathbb{Z}\ni b\neq 0, entonces \exists!\,q,r\in \mathbb{Z} tales que a=b\cdot q+r \wedge 0\le r \lt |b| . Así por ejemplo, 15 \mod 7 =1, ya que 8=7\cdot 2+1; -6 \mod 7 = 1 ya que -6=7\cdot (-1) +1.
Decimos que dados dos números enteros m y n son congruentes entre sí con respecto a un determinado número entero p, y lo escribimos m \equiv n (\mod p) si m \mod p = n \mod p, esto es, si las divisiones euclídeas m \div p y n \div p tienen el mismo resto. Así, por ejemplo, 15 \equiv 22 (\mod 7) ya que 15 \mod 7 = 1 = 22 \mod 7. Tambien podemos decir, entre otras muchas cosas, que 15 \equiv -6 (\mod 7) ya que 15 \mod 7 = 1 = -6 \mod 7
Esta operación módulo es muy importante en la teoría elemental de números (o matemática discreta): es necesaria en los cálculos con congruencias y también para entender y probar proposiciones. Como ejemplo práctico podemos subrayar que la matemática discreta es fundamental en el diseño de algoritmos y en programación.
Muchas calculadoras científicas incorporan esta operación, y la secuencia de tecleo suele ser (para el ejemplo que comento): [15 \rightarrow mod \rightarrow 7 \rightarrow = (o EXE)], presentándose el resultado, 1, en pantalla.
La congruencia cumple dos propiedades básicas. Si a_1 \equiv a_2 (\mod p) y b_1 \equiv b_2 (\mod p), entonces:
- a_1+b_1 \equiv a_2 + b_2 \,(\mod p)
- a_{1}\cdot b_{1} \equiv a_{2} \cdot b_{2}\, (\mod p)
Por ejemplo, 26 \equiv 19 (\mod 7), ya que 26 \mod 7 = 5 = 19 \mod 7, y 27 \equiv 13 (\mod 7) puesto que 27 \mod 7 = 6 = 13 \mod 7. Por tanto:
- 26+27 \equiv 19+13 (\mod 7), esto es, 53 \equiv 32 (\mod 7); en efecto: 53 \mod 7 = 4 = 32 \mod 7
- 26\cdot 27 \equiv 19\cdot 13 (\mod 7), esto es, 702 \equiv 247 (\mod 7); en efecto: 702 \mod 7 = 2 = 247 \mod 7
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