La operación módulo, para dos números enteros $a$ y $b$, se define como $a \mod b := \text{residuo}( a \div b)$, entendiendo la división como la división euclídea: dados $a\in \mathbb{Z}$ y $\mathbb{Z}\ni b\neq 0$, entonces $\exists!\,q,r\in \mathbb{Z}$ tales que $a=b\cdot q+r \wedge 0\le r \lt |b|$ . Así por ejemplo, $15 \mod 7 =1$, ya que $8=7\cdot 2+1$; $-6 \mod 7 = 1$ ya que $-6=7\cdot (-1) +1$.
Decimos que dados dos números enteros $m$ y $n$ son congruentes entre sí con respecto a un determinado número entero $p$, y lo escribimos $m \equiv n (\mod p)$ si $m \mod p = n \mod p$, esto es, si las divisiones euclídeas $m \div p$ y $n \div p$ tienen el mismo resto. Así, por ejemplo, $15 \equiv 22 (\mod 7)$ ya que $15 \mod 7 = 1 = 22 \mod 7$. Tambien podemos decir, entre otras muchas cosas, que $15 \equiv -6 (\mod 7)$ ya que $15 \mod 7 = 1 = -6 \mod 7$
Esta operación módulo es muy importante en la teoría elemental de números (o matemática discreta): es necesaria en los cálculos con congruencias y también para entender y probar proposiciones. Como ejemplo práctico podemos subrayar que la matemática discreta es fundamental en el diseño de algoritmos y en programación.
Muchas calculadoras científicas incorporan esta operación, y la secuencia de tecleo suele ser (para el ejemplo que comento): [15 $\rightarrow$ mod $\rightarrow$ 7 $\rightarrow$ = (o EXE)], presentándose el resultado, $1$, en pantalla.
La congruencia cumple dos propiedades básicas. Si $a_1 \equiv a_2 (\mod p)$ y $b_1 \equiv b_2 (\mod p)$, entonces:
- $a_1+b_1 \equiv a_2 + b_2 \,(\mod p)$
- $a_{1}\cdot b_{1} \equiv a_{2} \cdot b_{2}\, (\mod p)$
Por ejemplo, $26 \equiv 19 (\mod 7)$, ya que $26 \mod 7 = 5 = 19 \mod 7$, y $27 \equiv 13 (\mod 7)$ puesto que $27 \mod 7 = 6 = 13 \mod 7$. Por tanto:
- $26+27 \equiv 19+13 (\mod 7)$, esto es, $53 \equiv 32 (\mod 7)$; en efecto: $53 \mod 7 = 4 = 32 \mod 7$
- $26\cdot 27 \equiv 19\cdot 13 (\mod 7)$, esto es, $702 \equiv 247 (\mod 7)$; en efecto: $702 \mod 7 = 2 = 247 \mod 7$
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