Obviando los números primos negativos -que no se conocían en la antigüedad, y que sí incluyo aquí-, la demostración de Euclides es como sigue (empleando ahora el lenguaje moderno): Sean $p_1,p_2,\ldots$ números primos positivos y $\mathcal{P}=\{\pm p_1,\pm p_2,\ldots\}\subset \mathbb{Z}\setminus \{-1,0,1\}$ el conjunto de todos los números primos (positivos y negativos) -números enteros distintos de $0$, $1$ y $-1$ y que no son múltiplos del resto de números enteros-, donde $p_1\ge 2$ (y $-p_1\le -2$). Tomemos como hipótesis lo contrario de lo que queremos demostrar, esto es, partimos del supuesto de que hay un número finito de números primos, siendo el $p_n$ el máximo (y $-p_n$, el mínimo) de dicho conjunto supuestamene finito. A partir de aquí, vamos a ver como llegamos enseguida a una contradicción que nos permitará negar la hipótesis de partida, con lo cual habremos demostrado justo lo contrario de lo que reza ésta, es decir, que el número de números primos es infinto.
Consideremos ahora un número entero $\alpha:=p'_1\cdot p'_2 \cdot \ldots \cdot p'_n+1$, donde cada $p'_i$ ($i=1,\ldots,n$) puede ser igual a $p_i$ o bien a $-p_i$. Como el resto de la división de dicho número entre cualesquiera de los números primos $\{\pm p_1,\pm p_2\,\ldots,\pm p_n\}$ ha de ser igual a $1$, entonces, al ser el resto distinto de $0$, $\alpha$ no puede ser múltiplo de ninguno de los números primos $\pm p_1,\pm p_2 \ldots,\pm p_n$ del conjunto finito con el que hemos hecho la hipótesis de partida, luego $\alpha$ es un nuevo número primo, tal que $|\alpha| \ge p_n$, con lo que llegamos a una contradicción, y hemos terminado. $\square$
Referencias:
[1] Euclides: Elementos, Libro IX, proposición número 20
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