La función beta, la función gamma y el número $\pi$

La función beta o integral de Euler de primer orden se define como

$$\displaystyle \beta(z,w)=\int_{0}^{1}\,x^{z-1}\,(1-x)^{w-1}\,dx$$ donde $z,w\in \mathbb{C}$ y son tales que $\text{Re}(z)\gt 0$ y $\text{Im}(w)\gt 0$. Una propiedad interesante de la misma es la siguiente $$\beta(z,w)=\dfrac{\Gamma(z)\Gamma(w)}{\Gamma(z+w)}$$

Es sabido que $\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$ y $\Gamma(1)=1$ —ahora, en particular, $z,w\in \mathbb{Q}$—, luego

$$\beta\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\right)}=\dfrac{\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)}{\Gamma(1)}=\sqrt{\pi}\cdot \sqrt{\pi}=\pi$$ $\diamond$