Resolución de un problema de números enteros que pasa por resolver una ecuación diofántica lineal

En otro artículo de este blog resolví una ecuación diofántica lineal mediante un procedimiento muy básico, sin utilizar el método habitual, llamémosle estándar, basado en el lema de Bézout (también conocido como identidad de Bézout). Ahora voy a resolver el mismo problema, empleando este procedimiento estándar. El problema era el siguiente:

Se nos informa de que dos equipos, $X$ e $Y$, (del deporte que queráis imaginar) han jugado un conjunto de partidos, de tal manera que el doble de los partidos ganados por $X$ más el número de partidos ganados por $Y$ es igual a $12$. ¿Cuáles son las maneras (resultados) en que tal cosa ha podido acontecer?.

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Recordemos sucintamente, primero, en qué consiste —en otros artículos de este mismo blog ya he trato este asunto— este procedimiento estándar. Sea la ecuación diofántica lineal $ax+by=c\; a,b\in \mathbb{Z}$, entonces existe solución, esto es, un conjunto de parejas de números enteros $(x,y)$ que satisfacen dicha ecuación, si y sólo si el máximo común divisor de los coeficientes $a$ y $b$, $\text{m.c.d}(a,b)$ (que denotaremos de manera abreviada por $d$), es divisor del coeficiente $c$ (el resto de la división entera $d\div c$ es $0$), lo cual se suele denotar por $d|c$.

Si existiese solución, para encontrar el conjunto de pares $(x,y)$ de números enteros que la conforman, se procede primero a encontrar una pareja cualesquiera que satisfaga la igualdad numérica expresada en la ecuación (esta pareja de números es pues una solución particular, y la denotaremos por $(x_P,y_P)$; y, a continuación, encontramos las otras parejas de la siguiente forma $$\left\{\begin{matrix}x=x_P+\lambda\cdot \dfrac{b}{d} \\ y=y_P-\lambda\cdot \dfrac{a}{d} \end{matrix}\right.\; \text{donde}\, \lambda \in \mathbb{Z}$$ que constituyen la solución general.

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Procedo, pues. La ecuación diofántica lineal que hay que resolver es $2x+y=12$. Los coeficientes de la ecuación son $a=2$ y $b=1$. Parto de una solución particular, pongamos que de la pareja formada por $x_P=5$ e $y_P=2$ —cumple la igualdad $2x+y=12$; en efecto: $2\cdot 5 +2 = 12$—, que, como he anunciado, denoto de la forma $(5,12)$. Por otra parte el máximo común divisor de los coeficientes $a=2$ y $b=1$ es, $d=1$. Así pues, las otras parejas han de ser de la forma: $$\left\{\begin{matrix}x=5+\lambda\cdot \dfrac{1}{1}=5+\lambda \\ y=2-\lambda\cdot \dfrac{2}{1}=2-2\lambda \end{matrix}\right.\; \text{donde}\, \lambda \in \mathbb{Z}$$ Teniendo en cuenta el sentido «físico» de la solución, es claro que no todo valor de $\lambda \in \mathbb{Z}$ (hay infinitos, por supuesto) proporciona una pareja que forme parte de la solución. Hay que ir probando valores consistentes con la naturaleza de la solución. Así pues, voy a ir dando valores al parámetro $\lambda$ para así ir encontrando el resto de parejas. Es conveniente empezar a probar valores de $\lambda$ pequeños (en valor absoluto) y ir aumento incrementándolos/decrementándolos según proceda:

• Si $\lambda=0$, entonces $x=5+0=5$ y $y=2-2\cdot 0=2-0=2$, esto es obtenemos la pareja $(5,2)$ como parte de la solución general.
• Si $\lambda=1$, entonces $x=5+1=6$ y $y=2-2\cdot 1=0$, esto es obtenemos la pareja $(6,0)$ como parte de la solución general.
• Si $\lambda=-1$, entonces $x=5+(-1)=4$ y $y=2-2\cdot (-1)=4$, esto es obtenemos la pareja $(4,4)$ como parte de la solución general.
• Si $\lambda=2$, entonces $x=5+2=7$ y $y=2-2\cdot 2=-2\lt 0$, que no tiene sentido en nuestro problema, y por tanto este valor de $\lambda$ no aporta nada a la solución, como tampoco lo hacen (por la misma razón) los valores de $\lambda$ mayores que $2$
• Si $\lambda=-2$, entonces $x=5+(-2)=3$ y $y=2-2\cdot (-2)=6$, esto es obtenemos la pareja $(3,6)$ como parte de la solución general.
• Si $\lambda=-3$, entonces $x=5+(-3)=2$ y $y=2-2\cdot (-3)=8$, esto es obtenemos la pareja $(2,8)$ como parte de la solución general.
• Si $\lambda=-4$, entonces $x=5+(-4)=1$ y $y=2-2\cdot (-4)=10$, esto es obtenemos la pareja $(1,10)$ como parte de la solución general.
• Si $\lambda=-5$, entonces $x=5+(-5)=0$ y $y=2-2\cdot (-5)=12$, esto es obtenemos la pareja $(0,12)$ como parte de la solución general.
• Si $\lambda=-6$, entonces $x=5+(-6)\lt 1$ y por tanto este valor de $\lambda$ no aporta nada a la solución, como tampoco lo hacen (por la misma razón) los valores de $\lambda$ menores que $-6$. Y, aquí, terminamos.

En conclusión, la solución de la ecuación diofántica propuesta está formada por las siguientes parejas de números $(x,y)$, enteros no negativos: $$\{(5,2),(6,0),(4,4),(3,6),(2,8),(1,10),(0,12)\}$$

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Referencias

[1] E. Bujalance, et. al, Elementos de matemática discreta (3ª edición), Sanz y Torres, Madrid, 2005